Complete a seguinte tabela e responda:
X(quantidade produzida) C(CUSTO: R$) Par ordenado (x, c)
0
2
3
5
7
8
10
12
X(quantidade produzida) C(CUSTO: R$) Par ordenado (x, c)
0 300 (0,300)
2 340 (2,340)
3 360 (3,360)
5 400 (5,400)
7 440 (7,440)
8 460 (8,460)
10 500 (10,500)
12 540 (12,540)
  • Qual a sentença matemática que relaciona o custo diário de produção \mathbf{C} para \mathbf{x} itens produzidos?
C(x)=20 x+300

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com pares ordenados (quantidade produzida, custo em R$). Vou listar claramente os pares que aparecem (peguei estes valores da tabela fornecida):
(0,300), (2,340), (3,360), (5,400), (7,440), (8,460), (10,500), (12,540).
A pergunta é: qual a sentença matemática que relaciona o custo diário de produção C com x itens produzidos? Ou seja, queremos uma fórmula C(x) que dê o custo para qualquer x desses valores (e possivelmente para outros x).

Passo 2

Ideia básica (passo a passo do que vamos fazer).
  • Se os pontos seguem uma reta, então o custo é uma função afim (linear), da forma C(x)=m x + b, onde m é a inclinação (quanto o custo aumenta por unidade adicional produzida) e b é o custo fixo quando x=0.
  • Para verificar se é linear, calculamos o coeficiente angular m entre pares de pontos e vemos se é constante. A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui y representa C e x representa a quantidade.

Passo 3

Calcular m entre pares consecutivos para testar linearidade (usando os pares da tabela).
Entre (0,300) e (2,340):
m=\frac{340-300}{2-0}=\frac{40}{2}=20.
Entre (2,340) e (3,360):
m=\frac{360-340}{3-2}=\frac{20}{1}=20.
Entre (3,360) e (5,400):
m=\frac{400-360}{5-3}=\frac{40}{2}=20.
Entre (5,400) e (7,440):
m=\frac{440-400}{7-5}=\frac{40}{2}=20.
Entre (7,440) e (8,460):
m=\frac{460-440}{8-7}=\frac{20}{1}=20.
Entre (8,460) e (10,500):
m=\frac{500-460}{10-8}=\frac{40}{2}=20.
Entre (10,500) e (12,540):
m=\frac{540-500}{12-10}=\frac{40}{2}=20.

Passo 4

Interpretação do resultado dos cálculos do passo anterior.
Como o coeficiente angular m é sempre 20 entre quaisquer pares consecutivos, os pontos estão alinhados numa reta e a relação entre C e x é linear com inclinação m=20. Isso significa que para cada unidade adicional produzida o custo aumenta em R$ 20 — esse é o custo variável por unidade (também chamado de custo marginal constante, aqui).

Passo 5

Encontrar o termo independente b (custo fixo).
A forma geral é C(x)=m x + b. Usando um ponto conhecido, por exemplo (0,300), substitui-se x=0 e C(0)=300:
300 = m\cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b=300.
Portanto b é o custo quando não se produz nada — o custo fixo — igual a R$ 300.

Passo 6

Escrever a função final e interpretar.
Com m=20 e b=300 obtemos
C(x)=20x+300.
Interpretação prática: se produzir x unidades, o custo total diário será R$ 300 (fixo) mais R$ 20 por cada unidade produzida.

Passo 7

Verificação rápida com alguns pontos da tabela (para garantir que a fórmula reproduz os dados).
Por exemplo, para x=7:
C(7)=20\cdot 7 + 300 = 140 + 300 = 440,
que coincide com o ponto (7,440) da tabela. Para x=12:
C(12)=20\cdot 12 + 300 = 240 + 300 = 540,
que coincide com (12,540). Assim a fórmula está correta para todos os pontos dados.

Resposta

C(x)=20x+300

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