Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
|0,8 \mathrm{pts}| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n+1}
é convergente ou divergente. Informações relevantes que temos: os termos são não negativos para n\ge1 (note que \ln(1)=0, e para n\ge2 temos \ln(n)>0). Queremos apenas dizer se a soma dos termos tende para um valor finito (converge) ou cresce sem limite (diverge).

Passo 2

Vou usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test), porque temos um termo que lembra bastante uma forma conhecida ( \ln(n)/n). O enunciado do teste é:
sejam a_n>0 e b_n>0. Se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n são simultaneamente convergentes ou simultaneamente divergentes. Aqui vou escolher
a_n=\frac{\ln(n)}{n+1} \qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{\ln(n)}{n}.

Passo 3

Calculo o limite do quociente necessário pelo teste:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\ln(n)}{n+1}}{\dfrac{\ln(n)}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}.
Aqui simplifiquei \ln(n) (para n\ge2 ele é positivo e não nulo), ficando somente \dfrac{n}{n+1}.

Passo 4

Calculo o limite já simplificado:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Logo o valor L do Teste da Comparação por Limite é L=1, que é estritamente positivo e finito. Pelo teste, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que a série \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}. Portanto basta estudar a convergência de \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}.

Passo 5

Estudo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln(n)}{n} pelo Teste da Integral. Considere a função
f(x)=\frac{\ln(x)}{x},\qquad x\ge e.
Temos
f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2},
então para x\ge e vale \ln(x)\ge1 e f'(x)\le0, isto é, f é positiva e decrescente em [e,\infty) — condições que permitem aplicar o Teste da Integral. Agora calcule a integral imprópria:
\int_{e}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x}\,dx.
Faça a substiuição direta: uma primitiva de \dfrac{\ln(x)}{x} é \dfrac{1}{2}(\ln x)^2. Assim
\int_{e}^{t}\frac{\ln(x)}{x}\,dx=\frac{1}{2}(\ln t)^2-\frac{1}{2}(\ln e)^2 =\frac{1}{2}(\ln t)^2-\frac{1}{2}.
Tomando t\to\infty obtém-se \frac{1}{2}(\ln t)^2\to\infty. Portanto a integral diverge para +\infty. Pelo Teste da Integral, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}
diverge.

Passo 6

Voltando ao resultado do Teste da Comparação por Limite com L=1: como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\ln(n)}{n} diverge, a série original
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n+1}
também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n+1} diverge.

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