Escreva se a série é convergente ou divergente. Deixe claro o teste usado.
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes que temos: os termos são não negativos para
(note que
, e para
temos
). Queremos apenas dizer se a soma dos termos tende para um valor finito (converge) ou cresce sem limite (diverge).
Passo 2
Vou usar o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test), porque temos um termo que lembra bastante uma forma conhecida (
). O enunciado do teste é:
sejam e
. Se existir
sejam
com
, então as séries
e
são simultaneamente convergentes ou simultaneamente divergentes. Aqui vou escolher
Passo 3
Calculo o limite do quociente necessário pelo teste:
Aqui simplifiquei
(para
ele é positivo e não nulo), ficando somente
.
Passo 4
Calculo o limite já simplificado:
Logo o valor
do Teste da Comparação por Limite é
, que é estritamente positivo e finito. Pelo teste, a série
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que a série
. Portanto basta estudar a convergência de
.
Passo 5
Estudo
pelo Teste da Integral. Considere a função
Temos
então para
vale
e
, isto é,
é positiva e decrescente em
— condições que permitem aplicar o Teste da Integral. Agora calcule a integral imprópria:
Faça a substiuição direta: uma primitiva de
é
. Assim
Tomando
obtém-se
. Portanto a integral diverge para
. Pelo Teste da Integral, a série
diverge.
Passo 6
Voltando ao resultado do Teste da Comparação por Limite com
: como
diverge, a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.