Dê uma sequência
que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
limitada e monótona.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê uma sequência
que seja limitada e monótona.
Informações dadas: apenas as duas propriedades desejadas — “limitada” e “monótona”. Não há outras restrições (como ser estritamente monótona, convergente para um valor específico, etc.).
Informações dadas: apenas as duas propriedades desejadas — “limitada” e “monótona”. Não há outras restrições (como ser estritamente monótona, convergente para um valor específico, etc.).
Passo 2
Definição intuitiva de “limitada”: uma sequência
é limitada se existe um número
tal que
para todo
. Isso significa que todos os termos ficam dentro de um intervalo finito, por exemplo entre
e
.
Passo 3
Definição intuitiva de “monótona”: existem duas possibilidades principais:
- Monótona crescente (não decrescente):
para todo . - Monótona decrescente (não crescente):
para todo .
Qualquer uma dessas satisfaz o pedido “monótona”.
Passo 4
Vou dar uma sequência simples e muito usada em exemplos:
Passo 5
Intuição sobre os valores de
: para
temos
; para
temos
; para
temos
; e assim por diante — os termos vão subindo e se aproximando de
.
Passo 6
Por que essa sequência é limitada (intuitivamente): para todo
temos
, portanto
ou seja, todos os termos ficam no intervalo
, logo a sequência é limitada (por exemplo por
).
Passo 7
Por que essa sequência é monótona crescente (intuitivamente e com cálculo rápido): calculando a diferença entre termos consecutivos,
para todo
. Como a diferença é positiva, temos
para todo
, logo a sequência é monótona crescente.
Passo 8
Se quiser outras opções rápidas (apenas exemplos extras, sem prova):