Dê uma sequência (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} que satisfaça o enunciado. Não precisa provar, somente dar o exemplo.
(a_{n})_{n \in \mathbb{N}} limitada e monótona.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê uma sequência (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} que seja limitada e monótona.
Informações dadas: apenas as duas propriedades desejadas — “limitada” e “monótona”. Não há outras restrições (como ser estritamente monótona, convergente para um valor específico, etc.).

Passo 2

Definição intuitiva de “limitada”: uma sequência (a_n) é limitada se existe um número M>0 tal que |a_n|\le M para todo n\in\mathbb{N}. Isso significa que todos os termos ficam dentro de um intervalo finito, por exemplo entre -M e M.

Passo 3

Definição intuitiva de “monótona”: existem duas possibilidades principais:
  • Monótona crescente (não decrescente): a_{n+1}\ge a_n para todo n\in\mathbb{N}.
  • Monótona decrescente (não crescente): a_{n+1}\le a_n para todo n\in\mathbb{N}.
    Qualquer uma dessas satisfaz o pedido “monótona”.

Passo 4

Vou dar uma sequência simples e muito usada em exemplos:
a_n = 1 - \frac{1}{n},\qquad n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Intuição sobre os valores de (a_n): para n=1 temos a_1=0; para n=2 temos a_2=\tfrac{1}{2}; para n=3 temos a_3=\tfrac{2}{3}; e assim por diante — os termos vão subindo e se aproximando de 1.

Passo 6

Por que essa sequência é limitada (intuitivamente): para todo n\in\mathbb{N} temos 0<\tfrac{1}{n}\le 1, portanto
0 \le a_n = 1-\frac{1}{n} < 1,
ou seja, todos os termos ficam no intervalo [0,1), logo a sequência é limitada (por exemplo por M=1).

Passo 7

Por que essa sequência é monótona crescente (intuitivamente e com cálculo rápido): calculando a diferença entre termos consecutivos,
a_{n+1}-a_n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}>0
para todo n\in\mathbb{N}. Como a diferença é positiva, temos a_{n+1}>a_n para todo n, logo a sequência é monótona crescente.

Passo 8

Se quiser outras opções rápidas (apenas exemplos extras, sem prova):
\text{(i) } a_n=\frac{1}{n}\quad\text{(limitada e monótona decrescente)};ó
\text{(ii) } a_n=1-2^{-n}\quad\text{(limitada e monótona crescente).}ó

Resposta

a_n = 1 - \dfrac{1}{n},\\ n\in\mathbb{N}

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