Escreva o sistema abaixo na forma matricial \vec{X}^{\prime}=A \vec{X} e resolva: \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x+2 y \\\ y^{\prime}=3 x+4 y \end{array}\right. Passo 1O enunciado dá o sistema \begin{cases} x' = x + 2y,\\\ y' = 3x + 4y, \end{cases} que é um sistema linear de primeiras ordens com coeficientes constantes. Vamos primeiro escrevê-lo na forma matricial \vec{X}^{\prime}=A\vec{X} e depois resolver usando autovalores e autovetores de A. Passo 2Definimos o vetor de incógnitas \vec{X} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. Então as derivadas formam \vec{X}^{\prime}=\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix} e podemos escrever \vec{X}^{\prime} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, isto é, A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}. Passo 3Para encontrar os autovalores de A, resolvemos \det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\\ 3&4-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(4-\lambda)-6 =\lambda^{2}-5\lambda-2=0. As raízes são \lambda_{1,2} =\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}. Passo 4Para cada autovalor \lambda_j resolvemos (A-\lambda_j I)v^{(j)}=0. Da primeira equação (1-\lambda_j)v_1+2v_2=0 \quad\Longrightarrow\quad v_2=\frac{\lambda_j-1}{2}\,v_1. Tomando v_1=1, obtemos os autovetores v^{(j)} =\begin{pmatrix}1\\(\lambda_j-1)/2\end{pmatrix}, \quad j=1,2.) Passo 5A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções fundamentais \,v^{(j)}e^{\lambda_j t}: \vec{X}(t) = C_1\,v^{(1)}e^{\lambda_1 t} + C_2\,v^{(2)}e^{\lambda_2 t}. Em componentes, com \lambda_{1,2}=(5\pm\sqrt{33})/2, x(t) = C_1e^{\lambda_1 t}+C_2e^{\lambda_2 t}, \quad y(t) = \frac{\lambda_1-1}{2}\,C_1e^{\lambda_1 t} + \frac{\lambda_2-1}{2}\,C_2e^{\lambda_2 t}. RespostaA forma matricial é \vec{X}^{\prime} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix}\vec{X}, e a solução geral é \vec{X}(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\tfrac{\lambda_1-1}{2}\end{pmatrix} e^{\lambda_1 t} + C_2 \begin{pmatrix}1\\tfrac{\lambda_2-1}{2}\end{pmatrix} e^{\lambda_2 t}, com \lambda_{1,2}=(5\pm\sqrt{33})/2. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva o sistema: \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=2 x+y \\\ y^{\prime}=5 x+4 y \end{array}\right. A área A de um círculo é uma função do seu raio. a) Determine a taxa de variação média da área do círculo em relação ao raio, quando este varia de 6 cm a 9 cm . b) Determine a taxa de variação da área em relação ao raio no instante em que este vale 6 cm . Calcule f^{\prime}(2) sendo f a função dada por: f(x)=x^{3} \cdot e^{x}