Escreva o sistema abaixo na forma matricial \vec{X}^{\prime}=A \vec{X} e resolva:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x+2 y \\\ y^{\prime}=3 x+4 y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x' = x + 2y,\\\ y' = 3x + 4y, \end{cases}
que é um sistema linear de primeiras ordens com coeficientes constantes. Vamos primeiro escrevê-lo na forma matricial \vec{X}^{\prime}=A\vec{X} e depois resolver usando autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Definimos o vetor de incógnitas
\vec{X} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Então as derivadas formam
\vec{X}^{\prime}=\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}
e podemos escrever
\vec{X}^{\prime} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
isto é,
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A, resolvemos
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\\ 3&4-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(4-\lambda)-6 =\lambda^{2}-5\lambda-2=0.
As raízes são
\lambda_{1,2} =\frac{5\pm\sqrt{25+8}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda_j resolvemos (A-\lambda_j I)v^{(j)}=0. Da primeira equação
(1-\lambda_j)v_1+2v_2=0 \quad\Longrightarrow\quad v_2=\frac{\lambda_j-1}{2}\,v_1.
Tomando v_1=1, obtemos os autovetores
v^{(j)} =\begin{pmatrix}1\\(\lambda_j-1)/2\end{pmatrix}, \quad j=1,2.)

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear das soluções fundamentais \,v^{(j)}e^{\lambda_j t}:
\vec{X}(t) = C_1\,v^{(1)}e^{\lambda_1 t} + C_2\,v^{(2)}e^{\lambda_2 t}.
Em componentes, com \lambda_{1,2}=(5\pm\sqrt{33})/2,
x(t) = C_1e^{\lambda_1 t}+C_2e^{\lambda_2 t}, \quad y(t) = \frac{\lambda_1-1}{2}\,C_1e^{\lambda_1 t} + \frac{\lambda_2-1}{2}\,C_2e^{\lambda_2 t}.

Resposta

A forma matricial é
\vec{X}^{\prime} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix}\vec{X},
e a solução geral é
\vec{X}(t) = C_1 \begin{pmatrix}1\\tfrac{\lambda_1-1}{2}\end{pmatrix} e^{\lambda_1 t} + C_2 \begin{pmatrix}1\\tfrac{\lambda_2-1}{2}\end{pmatrix} e^{\lambda_2 t},
com \lambda_{1,2}=(5\pm\sqrt{33})/2.

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