Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=2 x+y \\\ y^{\prime}=5 x+4 y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de EDOs com coeficientes constantes
\begin{cases} x' = 2x + y,\\\ y' = 5x + 4y. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial \mathbf{x}' = A\,\mathbf{x}, onde
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[6pt]5 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para achar os autovalores de A, montamos a equação característica
\det(A - \lambda I) = 0
ou seja
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]5 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(4-\lambda) - 5\cdot1 = 0.]

Passo 4

Desenvolvendo a determinante, obtemos
(2-\lambda)(4-\lambda) - 5 = \lambda^2 -6\lambda +8 -5 = \lambda^2 -6\lambda +3 = 0.
As raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 -12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}.

Passo 5

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para \lambda_1 = 3 + \sqrt{6}, resolvemos
(A - \lambda_1 I)\mathbf{v} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1-\sqrt{6} & 1\\[4pt]5 & 1-\sqrt{6}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem -1-\sqrt{6})v_1 + v_2 = 0, logo v_2 = (1+\sqrt{6})v_1. Tomando v_1=1, um autovetor é
\mathbf{v}^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1+\sqrt{6}\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 3 - \sqrt{6}, analogamente achamos
\mathbf{v}^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1-\sqrt{6}\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
\mathbf{x}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}\,\mathbf{v}^{(1)} + C_2 e^{\lambda_2 t}\,\mathbf{v}^{(2)},
isto é, escrevendo em coordenadas,
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_1 e^{(3+\sqrt{6})t} \begin{pmatrix}1\\\ 1+\sqrt{6}\end{pmatrix} + C_2 e^{(3-\sqrt{6})t} \begin{pmatrix}1\\\ 1-\sqrt{6}\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\boxed{ \begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} = C_1 e^{(3+\sqrt{6})t} \begin{pmatrix}1\\\ 1+\sqrt{6}\end{pmatrix} + C_2 e^{(3-\sqrt{6})t} \begin{pmatrix}1\\\ 1-\sqrt{6}\end{pmatrix}. }]

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