A área A de um círculo é uma função do seu raio.
a) Determine a taxa de variação média da área do círculo em relação ao raio, quando este varia de 6 cm a 9 cm .
b) Determine a taxa de variação da área em relação ao raio no instante em que este vale 6 cm .

Passo 1

O enunciado diz que a área A de um círculo é função do raio r e pede:
a) a taxa de variação média de A em relação a r quando r vai de 6,cm a 9,cm;
b) a taxa de variação instantânea de A em relação a r no instante em que r=6,cm.
Para isso, usamos a fórmula
A(r)=\pi r^2,
a definição de taxa média de variação \displaystyle\frac{\Delta A}{\Delta r}
e a derivada \displaystyle\frac{dA}{dr} para a taxa instantânea.

Passo 2

Para a taxa média de variação, calculamos
A(9)=\pi\,(9)^2=81\pi,
A(6)=\pi\,(6)^2=36\pi,
e então
\frac{\Delta A}{\Delta r} =\frac{A(9)-A(6)}{9-6} =\frac{81\pi-36\pi}{3} =\frac{45\pi}{3} =15\pi\quad\bigl(\text{cm}^2\text{/cm}\bigr).

Passo 3

Para a taxa instantânea, derivamos A(r):
\frac{dA}{dr} =\frac{d}{dr}\bigl(\pi r^2\bigr) =2\pi r.
No instante r=6,cm, temos
\left.\frac{dA}{dr}\right|_{r=6} =2\pi\cdot6 =12\pi\quad\bigl(\text{cm}^2\text{/cm}\bigr).

Resposta

a) 15\pi,cm ^2/cm
b) 12\pi,cm ^2/cm

Exercícios relacionados