Escreva o sistema de equações que corresponde a cada uma das seguintes matrizes aumentadas: \left[\begin{array}{rrr|r}2 & 1 & 4 & -1 \\\\ 4 & -2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 2 & 6 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para escrever o sistema de equações correspondente à matriz aumentada dada. A matriz aumentada fornecida é
Pergunta: transformar essa matriz aumentada em um sistema de três equações lineares com três incógnitas.
Passo 2
Entendendo o que uma matriz aumentada representa (aula rápida e prática):
Cada linha da matriz corresponde a uma equação linear.
As três primeiras colunas são os coeficientes das três incógnitas, e a coluna após a barra vertical é o termo independente (o lado direito da equação).
Em notação geral: se uma linha é \left[a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3}\mid b\right], então a equação correspondente é
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b.
Aqui a_{1},a_{2},a_{3} são números (coeficientes) e b é o termo independente; x_{1},x_{2},x_{3} são as incógnitas.
Passo 3
Escolhendo nomes convenientes para as incógnitas (isso facilita na prova):
Vou chamar as incógnitas de x, y e z, correspondendo, respectivamente, às colunas 1, 2 e 3 da matriz.
Ou seja:
x \equiv x_{1},\qquad y \equiv x_{2},\qquad z \equiv x_{3}.
Passo 4
Aplicando a regra linha → equação para cada linha da matriz:
Primeira linha da matriz: \left[2\\\ 1\\\ 4\mid -1\right]. Isso vira a equação
2x+1y+4z=-1.
Explicando: o 2 é o coeficiente de x, o 1 é o coeficiente de y (normalmente escrevemos só y), e o 4 é o coeficiente de z. O -1 é o termo do lado direito.
Segunda linha da matriz: \left[4\\\ -2\\\ 3\mid 4\right]. Isso vira a equação
4x-2y+3z=4.
Explicando: o -2 indica que o coeficiente de y é negativo.
Terceira linha da matriz: \left[5\\\ 2\\\ 6\mid -1\right]. Isso vira a equação
5x+2y+6z=-1.
Passo 5
Organizando tudo como um sistema (forma final, pronta para usar numa resolução por escalonamento, substituição, ou Cramer):
As três equações são exatamente as que obtivemos nas conversões linha → equação.
Se for pedida resolução depois, agora já está no formato correto para aplicar eliminação de Gauss ou qualquer outro método.