Dê uma interpretação geométrica de uma equação linear a três incógnitas. Dê a descrição geométrica dos possíveis conjuntos solução para um sistema linear 3 \times 3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Dar uma interpretação geométrica de uma equação linear a três incógnitas.
  • Descrever geometricamente os possíveis conjuntos solução para um sistema linear 3\times3.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • Uma equação linear a três incógnitas tem a forma geral ax+by+cz=d, com a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • Um sistema linear 3\times3 tem três equações lineares em três incógnitas; geometricamente cada equação representa uma superfície no espaço \mathbb{R}^3.

Passo 2

O que é, em termos algébricos, uma equação linear em três incógnitas? Escrevemos a forma canônica:
ax+by+cz=d,
onde (x,y,z) são as incógnitas e a,b,c,d são constantes dadas.
Agora a interpretação geométrica fundamental: a expressão da equação pode ser vista como um produto escalar. Defina o vetor normal
\mathbf{n}=(a,b,c)
e o vetor posição
\mathbf{x}=(x,y,z).
Então a equação é
\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=d.
Uma equação desse tipo representa um plano em \mathbb{R}^3 — o conjunto de pontos cuja projeção na direção \mathbf{n} tem coordenada d.

Passo 3

Explicando em palavras simples e pictóricas:
  • O vetor \mathbf{n}=(a,b,c) é perpendicular (normal) ao plano. Ou seja, o plano é formado por todos os pontos \mathbf{x} que satisfazem que a componente de \mathbf{x} na direção \mathbf{n} é igual a d.
  • Se d=0 então o plano passa pela origem (é um subespaço linear). Se d\neq0 o plano é um deslocamento paralelo daquele que passa pela origem.
  • Caso especial: se a=b=c=0 então a “equação” vira 0=d. Se d=0 a equação é verdadeira para todo \mathbf{x} (o conjunto solução é \mathbb{R}^3). Se d\neq0 não existe solução (contradição).

Passo 4

Intersecção de dois planos — como aparece quando temos duas equações:
  • Em geral, a intersecção de duas planos distintos e não paralelos é uma reta. Geometricamente: cada plano elimina uma dimensão, sobrando uma dimensão comum (uma linha).
  • Se os dois planos forem paralelos e distintos, a intersecção é vazia.
  • Se forem coincidentes (a mesma equação até multiplicação por escalar), a intersecção é o próprio plano.
Ferramenta prática (útil na prova): se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são as normais dos dois planos, a direção da reta de intersecção é dada por
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2,
porque \mathbf{v} é ortogonal a ambas as normais e portanto tangente à intersecção. Para encontrar um ponto da reta, basta resolver as duas equações por exemplo atribuindo um parâmetro a uma variável.
Exemplo rápido (para fixar): planos x+y+z=1 ( \mathbf{n}_1=(1,1,1)) e x-y=0 ( \mathbf{n}_2=(1,-1,0)). A direção é
\mathbf{v}=(1,1,1)\times(1,-1,0)=(1\cdot0-1\cdot(-1),\;1\cdot1-1\cdot0,\;1\cdot(-1)-1\cdot1)=(1,1,-2).
Assim a reta tem direção (1,1,-2); para um ponto basta resolver, por exemplo, impondo z=t e encontrar x,y em função de t.

Passo 5

Intersecção de três planos (o caso do sistema 3\times3) — visão geral usando dependência linear:
  • Cada equação corresponde a um plano com normal \mathbf{n}_i.
  • O comportamento do conjunto solução depende de quantas dessas equações são linearmente independentes (ou seja, do posto/rank das equações).
Introduzindo o conceito útil, de forma simples: o posto r da matriz dos coeficientes é o número de equações independentes. Para o sistema ser consistente (ter solução) é necessário que o posto da matriz dos coeficientes A seja igual ao posto da matriz aumentada [A|b]. Se forem diferentes, o sistema é inconsistente (sem solução). Se são iguais e valem r, então o espaço de soluções tem dimensão
\dim(\text{solução})=3-r.çã
Isso dá, para r=0,1,2,3, dimensões 3,2,1,0 respectivamente.

Passo 6

Listando as possibilidades geométricas (cada item dá a configuração geométrica e uma condição rápida que você pode checar na prova):
  1. Nenhuma solução (conjunto vazio).
  • Geometria: os três planos não têm ponto em comum. Exemplos típicos: dois planos paralelos distintos e o terceiro qualquer, ou três planos que formam um “triângulo” sem ponto comum.
  • Álgebra: posto de [A|b] é maior que o posto de A (inconsistente).
  1. Uma única solução (um ponto).
  • Geometria: as três planos cruzam-se em um ponto comum (normalmente cada par de planos intersecta em uma reta, e as três retas têm um ponto em comum).
  • Álgebra: posto r=3. Critério simples na prova: \det A\neq0 (matriz de coeficientes invertível) implica solução única.
  1. Infinitas soluções que formam uma reta.
  • Geometria: exatamente duas equações são independentes (dois planos distintos) e o terceiro é combinação linear dos dois (é redundante) — a intersecção comum é a reta dos dois planos.
  • Álgebra: posto r=2 e sistema consistente; dimensão da solução =1.
  1. Infinitas soluções que formam um plano.
  • Geometria: todas as equações representam o mesmo plano (ou duas são múltiplos e a terceira é combinação), então a solução comum é esse plano inteiro.
  • Álgebra: posto r=1 e sistema consistente; dimensão da solução =2.
  1. Infinitas soluções que formam todo o espaço \mathbb{R}^3.
  • Geometria: isso ocorre quando todas as equações são triviais 0=0 (ou seja, a=b=c=0 e d=0 em todas), então não há restrição.
  • Álgebra: posto r=0 e consistente; dimensão da solução =3.

Passo 7

Exemplos rápidos e testáveis (como fazer rápido na prova):
  • Para saber se existe solução única: calcule \det A. Se \det A\neq0 então há exatamente um ponto solução.
  • Se \det A=0, faça eliminação de Gauss (redução de linhas) para encontrar o posto r. Compare com o posto da matriz aumentada:
    • Se posto diferir -> sem solução.
    • Se posto =2 -> reta de soluções.
    • Se posto =1 -> plano de soluções.
    • Se posto =0 -> todo \mathbb{R}^3.
  • Geometricamente, procurar normais paralelos ou múltiplos é um atalho: se duas normais são múltiplas, os planos são paralelos ou coincidentes; isso já sinaliza possível inconsistência ou redundância.

Passo 8

Resumo prático (dicas de resolução passo a passo na prova):
  • Escreva as normais \mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2,\mathbf{n}_3.
  • Verifique dependências entre essas normais (proporcionalidade, combinação linear) — isso dá pistas imediatas de paralelismo/coinci­dência.
  • Se parecer que há solução única, calcule \det A ou resolva o sistema por eliminação.
  • Se \det A=0, reduza por escalonamento para ver se aparece contradição (linha do tipo 0=1) ou variáveis livres (solução em família, parametrize).
  • Use geometricamente: intersecção de duas planes → reta; intersecção de três → ponto/linha/plano/vazio conforme dependência.

Resposta

Uma equação linear a três incógnitas \;ax+by+cz=d\; representa um plano em \mathbb{R}^3; o vetor \mathbf{n}=(a,b,c) é a normal do plano e a equação pode ser escrita como \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=d.
Para um sistema linear 3\times3 os possíveis conjuntos solução (geometricamente) são, dependendo do posto e da consistência:
  • vazio (nenhuma solução, inconsistente);
  • um ponto (única solução, posto r=3, \det A\neq0);
  • uma reta (infinitas soluções de dimensão 1, posto r=2);
  • um plano (infinitas soluções de dimensão 2, posto r=1);
  • todo \mathbb{R}^3 (infinitas soluções de dimensão 3, posto r=0).

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