Escreva o sistema linear abaixo na forma matricial A X=B :
\left\{\begin{array}{l} x-2 y+z=1 \\\\ 3 x+y-z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear abaixo e pede para escrevê‑lo na forma matricial A X = B. As equações fornecidas são (peguei esses números do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1,\\[4pt] 3x+y-z=4. \end{array}\right.
O que é pedido: apresentar uma matriz A, um vetor incógnita X e um vetor B tais que \,A X = B\, represente exatamente esse sistema.]

Passo 2

O que significa escrever um sistema na forma matricial A X = B?
  • A é a matriz dos coeficientes: cada linha de A contém os coeficientes das incógnitas na respectiva equação.
  • X é o vetor coluna das incógnitas, na mesma ordem escolhida (por exemplo x,y,z).
  • B é o vetor coluna dos termos independentes (os lados direitos das equações).
    Vou extrair os coeficientes de cada equação cuidadosamente.

Passo 3

Extração dos coeficientes da primeira equação x-2y+z=1: os coeficientes de x, y e z são, respectivamente, 1, -2 e 1. Esses formam a primeira linha de A.

Passo 4

Extração dos coeficientes da segunda equação 3x+y-z=4: os coeficientes de x, y e z são, respectivamente, 3, 1 e -1. Esses formam a segunda linha de A.
Assim a matriz dos coeficientes fica:
A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Definir o vetor incógnita X (escolhendo a ordem x,y,z):
X=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.]

Passo 6

Definir o vetor dos termos independentes B, pegando os lados direitos das equações (peguei esses números do enunciado):
B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montar a igualdade matricial final e verificar rapidamente que ela reproduz o sistema original: calcular A X
A X = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot x + (-2)\cdot y + 1\cdot z\\[6pt] 3\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2y+z\\[4pt] 3x+y-z \end{pmatrix},
que de fato é igual a B, reproduzindo as duas equações do enunciado.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}]

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