Estratégia escolhida: eliminação (método de Gauss) — que é intuitivo e rápido à mão. Ideia básica: usar operações elementares sobre as equações (multiplicar uma equação por um escalar e somá-la a outra) para eliminar uma incógnita de duas equações, reduzindo o sistema a um sistema com menos incógnitas. Operações permitidas que preservam a solução:
multiplicar uma equação por \lambda\neq0,
somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar,
trocar duas equações de lugar.
Vou usar a primeira equação como pivot porque o coeficiente de x é \,1\,, o que facilita.
Passo 3
Eliminar x da segunda equação usando a primeira. Faço \text{Eq2} - 2\cdot\text{Eq1}:
(2x-y+z)-2(x+y+z)=0-2\cdot1.
Calculando cada termo:
2x-y+z-2x-2y-2z = -3y - z,
e no lado direito
0-2 = -2.
Logo obtemos a nova equação
-3y - z = -2. \tag{Eq2'}
Passo 4
Eliminar x da terceira equação usando a primeira. Faço \text{Eq3}-\text{Eq1}:
(x+2y+3z)-(x+y+z)=4-1.
Calculando:
x+2y+3z-x-y-z = y + 2z,
e no lado direito
4-1=3.
Logo obtemos a nova equação
y + 2z = 3. \tag{Eq3'}
Agora reduzimos o sistema original a um sistema com duas equações em (y,z):
\begin{cases} -3y - z = -2,\\[4pt] y + 2z = 3. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema em (y,z) por eliminação. Para eliminar y, multiplico \text{Eq3'} por 3 e somo com \text{Eq2'}: