Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\ 2 x-y+z=0 \\\ x+2 y+3 z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear e encontrar os valores de (x,y,z). As informações fornecidas são as três equações:
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] 2x-y+z=0,\\[4pt] x+2y+3z=4. \end{cases}]

Passo 2

Estratégia escolhida: eliminação (método de Gauss) — que é intuitivo e rápido à mão. Ideia básica: usar operações elementares sobre as equações (multiplicar uma equação por um escalar e somá-la a outra) para eliminar uma incógnita de duas equações, reduzindo o sistema a um sistema com menos incógnitas. Operações permitidas que preservam a solução:
  • multiplicar uma equação por \lambda\neq0,
  • somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar,
  • trocar duas equações de lugar.
    Vou usar a primeira equação como pivot porque o coeficiente de x é \,1\,, o que facilita.

Passo 3

Eliminar x da segunda equação usando a primeira. Faço \text{Eq2} - 2\cdot\text{Eq1}:
(2x-y+z)-2(x+y+z)=0-2\cdot1.
Calculando cada termo:
2x-y+z-2x-2y-2z = -3y - z,
e no lado direito
0-2 = -2.
Logo obtemos a nova equação
-3y - z = -2. \tag{Eq2'}

Passo 4

Eliminar x da terceira equação usando a primeira. Faço \text{Eq3}-\text{Eq1}:
(x+2y+3z)-(x+y+z)=4-1.
Calculando:
x+2y+3z-x-y-z = y + 2z,
e no lado direito
4-1=3.
Logo obtemos a nova equação
y + 2z = 3. \tag{Eq3'}
Agora reduzimos o sistema original a um sistema com duas equações em (y,z):
\begin{cases} -3y - z = -2,\\[4pt] y + 2z = 3. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema em (y,z) por eliminação. Para eliminar y, multiplico \text{Eq3'} por 3 e somo com \text{Eq2'}:
3\cdot(y+2z)=3\cdot3 \quad\Rightarrow\quad 3y+6z=9.
Agora somo com \text{Eq2'}:
(3y+6z)+(-3y - z) = 9 + (-2).
No lado esquerdo os y se cancelam e sobra
5z = 7.
Portanto
z = \frac{7}{5}.

Passo 6

Encontrar y substituindo z em \text{Eq3'}. Da equação y+2z=3 temos
y = 3 - 2z = 3 - 2\cdot\frac{7}{5}.
Calcule:
2\cdot\frac{7}{5}=\frac{14}{5},\qquad 3=\frac{15}{5},
logo
y = \frac{15}{5}-\frac{14}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 7

Encontrar x substituindo y e z na primeira equação x+y+z=1. Isolando x:
x = 1 - y - z = 1 - \frac{1}{5} - \frac{7}{5}.
Calcule em frações:
1=\frac{5}{5},\qquad \frac{5}{5}-\frac{1}{5}-\frac{7}{5}=\frac{5-1-7}{5}=\frac{-3}{5}.
Portanto
x = -\frac{3}{5}.

Passo 8

Verificação rápida (importante na prova): substituindo \,x=-\frac{3}{5},\;y=\frac{1}{5},\;z=\frac{7}{5}\, nas equações originais:
  • Para \,2x-y+z:
2\left(-\frac{3}{5}\right)-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}=\frac{-6-1+7}{5}=0.
  • Para \,x+2y+3z:
-\frac{3}{5}+2\cdot\frac{1}{5}+3\cdot\frac{7}{5}=\frac{-3+2+21}{5}=\frac{20}{5}=4.
Tudo confere com as equações dadas.

Resposta

\,x=-\dfrac{3}{5}\,
\,y=\dfrac{1}{5}\,
\,z=\dfrac{7}{5}\,

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