Escreva o sistema linear em forma matricial.
\frac{d x}{d t}=-3 x+4 y-9 z
\frac{d y}{d t}=6 x-y
$\frac{d z}{d t}=10 x+4 y+3 z

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações diferenciais ordinárias (ODEs) acopladas em x(t), y(t) e z(t). As equações fornecidas são:
\frac{d x}{d t}=-3 x+4 y-9 z
\frac{d y}{d t}=6 x-y
\frac{d z}{d t}=10 x+4 y+3 z
O que o enunciado pede: escrever esse sistema na forma matricial (ou seja, como um produto entre uma matriz de coeficientes e o vetor coluna das incógnitas).

Passo 2

Primeiro, organizamos as incógnitas em um vetor coluna (vetor-estado). Definimos
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix}.
Essa é uma forma compacta de agrupar as três funções desconhecidas. A derivada desse vetor é
\frac{d\mathbf{X}}{dt}=\begin{pmatrix}\dfrac{dx}{dt}\\[6pt]\dfrac{dy}{dt}\\[6pt]\dfrac{dz}{dt}\end{pmatrix}.]

Passo 3

A forma matricial linear homogênea padrão que queremos é
\frac{d\mathbf{X}}{dt}=A\,\mathbf{X},
onde A é uma matriz 3\times3 cujas entradas a_{ij} são os coeficientes que multiplicam a j-ésima variável na i-ésima equação. Em outras palavras:
  • a_{11} é o coeficiente de x na primeira equação,
  • a_{12} é o coeficiente de y na primeira equação,
  • a_{13} é o coeficiente de z na primeira equação,
    e assim por diante para as outras linhas.

Passo 4

Agora preenchemos a matriz A lendo os coeficientes diretamente das equações (pegamos esses números das equações dadas):
  • Na primeira equação, os coeficientes de (x,y,z) são (-3,\,4,\,-9).
  • Na segunda equação, os coeficientes de (x,y,z) são (6,\,-1,\,0) (observe que z não aparece, então o coeficiente é 0).
  • Na terceira equação, os coeficientes de (x,y,z) são (10,\,4,\,3).
Logo
A=\begin{pmatrix} -3 & 4 & -9\\[4pt] 6 & -1 & 0\\[4pt] 10 & 4 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Podemos verificar que a multiplicação A\mathbf{X} recupera exatamente o sistema original. Calculando o produto:
A\mathbf{X}= \begin{pmatrix} -3 & 4 & -9\\[4pt] 6 & -1 & 0\\[4pt] 10 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x+4y-9z\\[6pt] 6x-y+0\cdot z\\[6pt] 10x+4y+3z \end{pmatrix},
que coincide exatamente com \dfrac{d\mathbf{X}}{dt} dado no enunciado. Como não há termos independentes (constantes) nas equações, não precisamos adicionar um vetor coluna de termos livres — ele é o vetor nulo.]

Resposta

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -9\\[4pt] 6 & -1 & 0\\[4pt] 10 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}]

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