(1.5) Escreva o sistema
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right) X+\binom{1}{1} e^{t}
sem utilizar matrizes.

Passo 1

O enunciado dá o sistema vetorial
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 4 & 3 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right) X+\binom{1}{1} e^{t}
e pede para escrevê‑lo sem usar matrizes. Informações importantes fornecidas:
  • A matriz de coeficientes tem entradas 4,3,-1,2 (na ordem linha por linha).
  • O termo não homogêneo é o vetor \binom{1}{1} multiplicado por e^{t}.
  • A incógnita é o vetor X(t), cuja derivada é X'(t).
    O que se quer: transformar essa equação vetorial em duas equações escalares (sem notação de matrizes).

Passo 2

Vamos explicitar as componentes do vetor incógnita. Definir
X(t)=\binom{x_{1}(t)}{x_{2}(t)}.
A derivada do vetor é feita componente a componente, isto é,
X'(t)=\binom{x_{1}'(t)}{x_{2}'(t)}.

Passo 3

Lembrete sobre produto matriz‑vetor (para entender por que as componentes ficam como somas).
Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad X=\binom{x_{1}}{x_{2}},
então o produto A X tem componentes
A X=\binom{a x_{1}+b x_{2}}{c x_{1}+d x_{2}}.
Ou seja, para cada linha da matriz, multiplica‑se cada entrada da linha pela componente correspondente do vetor e soma‑se os resultados.

Passo 4

Aplicando essa regra à matriz dada, a primeira componente do produto é obtida pela primeira linha (4\; 3) multiplicada por \binom{x_{1}}{x_{2}}. Assim a primeira equação (antes de incluir o termo não homogêneo) é
\text{primeira parte: }4x_{1}(t)+3x_{2}(t).
Agora incluir o termo não homogêneo: o vetor \binom{1}{1} e^{t} tem primeira componente 1\cdot e^{t}=e^{t}. Portanto a equação para a primeira componente do sistema fica
x_{1}'(t)=4x_{1}(t)+3x_{2}(t)+e^{t}.

Passo 5

Para a segunda componente, usamos a segunda linha da matriz, que é (-1\; 2). O produto com \binom{x_{1}}{x_{2}}
\text{segunda parte: }-1\cdot x_{1}(t)+2\cdot x_{2}(t) = -x_{1}(t)+2x_{2}(t).
O termo não homogêneo tem segunda componente também 1\cdot e^{t}=e^{t}. Assim a equação para a segunda componente é
x_{2}'(t)=-x_{1}(t)+2x_{2}(t)+e^{t}.

Passo 6

Resumo didático e dica para a prova: para passar de uma forma matricial para o sistema escalar, identifique as componentes do vetor incógnita, aplique produto linha por coluna para cada linha da matriz e some o termo não homogêneo componente a componente. Fazer isso por escrito evita erros de sinal e esquecimento de termos.

Resposta

x_{1}'(t)=4x_{1}(t)+3x_{2}(t)+e^{t}
x_{2}'(t)=-x_{1}(t)+2x_{2}(t)+e^{t}

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