Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
\sum \frac{1}{n \sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a série cuja soma é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}.
A pergunta é: analisar a convergência dessa série (ou seja, dizer se ela converge ou diverge).

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral para uma forma mais familiar. Note que \sqrt{n} = n^{1/2}, portanto
\frac{1}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{n\cdot n^{1/2}}=\frac{1}{n^{3/2}}.
Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Agora vou explicar um critério padrão e muito usado em provas: o critério da série p (série do tipo \sum 1/n^{p}). O enunciado básico é:
  • Para a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}},
tem-se que ela converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
Por que isso é verdade? Uma forma didática de ver isso é usando o teste da integral. Considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1. A integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Calculando:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A} x^{-p}\,dx = \lim_{A\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{A}.
  • Se p\neq 1, isso é
\lim_{A\to\infty}\frac{A^{1-p}-1}{1-p}.
Se p>1 então 1-p<0 e A^{1-p}\to 0 quando A\to\infty, portanto a integral converge (valor finito). Se p\le 1, a integral diverge porque A^{1-p} não tende a zero. Pelo teste da integral (que relaciona soma e integral para termos positivos e função decrescente), a série \sum 1/n^{p} tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) da integral acima. Assim obtemos o critério do p-teste.

Passo 4

Aplicando o critério à nossa série: já escrevemos o termo como 1/n^{3/2}. Aqui p=\tfrac{3}{2}=1{,}5, que satisfaz p>1. Pelo critério da série p (ou pelo teste da integral explicado), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
converge.

Passo 5

Observações finais úteis para a prova (resumindo e motivando confiança):
  • Como os termos são positivos, “convergência” já implica “convergência absoluta”.
  • Comparações rápidas: a série harmônica \sum 1/n (caso p=1) diverge; qualquer \sum 1/n^{p} com p>1 converge. Aqui p=\tfrac{3}{2} está bem acima de 1, então a convergência é garantida.
  • Se quiser justificar de outra forma na prova, pode também usar o teste da comparação direta com uma série p conhecida (por exemplo, comparar diretamente com 1/n^{3/2} — aqui é a mesma expressão, então a conclusão é imediata).

Resposta

A série converge (é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1).

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