Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado fornece a série cuja soma é
A pergunta é: analisar a convergência dessa série (ou seja, dizer se ela converge ou diverge).
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral para uma forma mais familiar. Note que
, portanto
Assim a série fica
Passo 3
Agora vou explicar um critério padrão e muito usado em provas: o critério da série
(série do tipo
). O enunciado básico é:
- Para a série
tem-se que ela converge se, e somente se,
; diverge se
.
Por que isso é verdade? Uma forma didática de ver isso é usando o teste da integral. Considere a função
para
. A integral imprópria
converge se, e somente se,
. Calculando:
- Se
, isso é
Se
então
e
quando
, portanto a integral converge (valor finito). Se
, a integral diverge porque
não tende a zero. Pelo teste da integral (que relaciona soma e integral para termos positivos e função decrescente), a série
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) da integral acima. Assim obtemos o critério do
-teste.
Passo 4
Aplicando o critério à nossa série: já escrevemos o termo como
. Aqui
, que satisfaz
. Pelo critério da série
(ou pelo teste da integral explicado), concluímos que a série
converge.
Passo 5
Observações finais úteis para a prova (resumindo e motivando confiança):
- Como os termos são positivos, “convergência” já implica “convergência absoluta”.
- Comparações rápidas: a série harmônica
(caso ) diverge; qualquer com converge. Aqui está bem acima de , então a convergência é garantida. - Se quiser justificar de outra forma na prova, pode também usar o teste da comparação direta com uma série
conhecida (por exemplo, comparar diretamente com — aqui é a mesma expressão, então a conclusão é imediata).
Resposta
A série converge (é uma série
com
).