Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
\sum \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série cuja soma geral é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n}}.
  • Todos os termos a_n são positivos para n\ge1.
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se possível, identificar se converge absolutamente.)

Passo 2

Apresentando o critério que vamos usar (teste da razão de d’Alembert) e por que ele é adequado:
  • O teste da razão diz: para uma série de termos positivos \sum a_n, calcule o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 então a série converge; se L>1 então diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Esse teste é apropriado quando os termos envolvem exponenciais ou potências de n, como aqui, porque a razão entre termos sucessivos costuma simplificar bem.

Passo 3

Calcular a razão entre termos sucessivos a_{n+1}/a_n. Começo escrevendo a_n explicitamente:
a_n=\frac{\sqrt{n}}{2^{n}},\qquad a_{n+1}=\frac{\sqrt{n+1}}{2^{\,n+1}}.
Agora a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{\sqrt{n+1}}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n}}} = \frac{\sqrt{n+1}}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{n+1}{n}}.

Passo 4

Calcular o limite dessa razão quando n\to\infty:
  • Note que
\sqrt{\frac{n+1}{n}}=\sqrt{1+\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1,
porque \dfrac{1}{n}\to0 e a função raiz é contínua.
  • Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+1}{n}} =\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando o teste da razão com o resultado obtido:
  • Encontramos L=\dfrac{1}{2}<1.
  • Pelo teste da razão, isso implica que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n}} converge.
  • Como todos os termos são positivos, convergência da série implica convergência absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso).

Passo 6

Comentário intuitivo rápido (para guardar na prova):
  • A sequência \sqrt{n} cresce muito mais devagar que 2^{n}. Assim os termos a_n vão para zero muito rápido por causa do denominador exponencial; isso é outra maneira de ver por que a série converge (comparando, informalmente, com uma série geométrica de razão próxima de \tfrac{1}{2}).

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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