Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries: \sum \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série cuja soma geral é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}.
Informações dadas e observações iniciais:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n}}.
Todos os termos a_n são positivos para n\ge1.
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se possível, identificar se converge absolutamente.)
Passo 2
Apresentando o critério que vamos usar (teste da razão de d’Alembert) e por que ele é adequado:
O teste da razão diz: para uma série de termos positivos \sum a_n, calcule o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 então a série converge; se L>1 então diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Esse teste é apropriado quando os termos envolvem exponenciais ou potências de n, como aqui, porque a razão entre termos sucessivos costuma simplificar bem.
Passo 3
Calcular a razão entre termos sucessivos a_{n+1}/a_n. Começo escrevendo a_n explicitamente:
Aplicando o teste da razão com o resultado obtido:
Encontramos L=\dfrac{1}{2}<1.
Pelo teste da razão, isso implica que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n}} converge.
Como todos os termos são positivos, convergência da série implica convergência absoluta (não há diferença entre convergência e convergência absoluta neste caso).
Passo 6
Comentário intuitivo rápido (para guardar na prova):
A sequência \sqrt{n} cresce muito mais devagar que 2^{n}. Assim os termos a_n vão para zero muito rápido por causa do denominador exponencial; isso é outra maneira de ver por que a série converge (comparando, informalmente, com uma série geométrica de razão próxima de \tfrac{1}{2}).