escreva \vec{B} como combinação linear de \vec{A} e \vec{C}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever \vec{B} como combinação linear de \vec{A} e \vec{C}.
Informações dadas no enunciado: nenhuma — não foram fornecidas as componentes (coordenadas) de \vec{A}, \vec{B} ou \vec{C}.
O que o problema quer: encontrar escalares \alpha e \beta tais que
\vec{B}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{C}.

Passo 2

Primeira conclusão prática: sem as componentes (ou alguma relação adicional entre \vec{A},\vec{B},\vec{C}) não é possível calcular valores numéricos para \alpha e \beta. Vou então explicar passo a passo como proceder quando as componentes estiverem disponíveis — assim você resolve rapidinho na prova.

Passo 3

Definição e ideia básica. Dizer que \vec{B} é combinação linear de \vec{A} e \vec{C} significa que existem escalares \alpha e \beta tais que
\vec{B}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{C}.
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos. Para encontrar \alpha,\beta basta olhar as componentes dos vetores e montar um sistema linear igualando componente a componente. Vou mostrar isso no caso mais comum \mathbb{R}^2 e explicar o que fazer em \mathbb{R}^3 e casos especiais.

Passo 4

Caso em \mathbb{R}^2\) (mais direto em prova). Suponha \[\vec{A}=\begin{pmatrix}a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix},\qquad \vec{C}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix},\qquad \vec{B}=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\end{pmatrix}.
Então a equação \vec{B}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{C} vira o sistema
\begin{cases} \alpha a_1+\beta c_1=b_1,\\[4pt] \alpha a_2+\beta c_2=b_2. \end{cases}
Isto é um sistema linear 2\times2\] em \(\alpha,\beta. Se o determinante
\Delta=\begin{vmatrix}a_1 & c_1\\[4pt] a_2 & c_2\end{vmatrix}=a_1c_2-a_2c_1
for diferente de zero, há solução única e pode-se usar a Regra de Cramer:
\alpha=\dfrac{\begin{vmatrix}b_1 & c_1\\[4pt] b_2 & c_2\end{vmatrix}}{\Delta},\qquad \beta=\dfrac{\begin{vmatrix}a_1 & b_1\\[4pt] a_2 & b_2\end{vmatrix}}{\Delta}.
Explicando a Regra de Cramer: para obter \alpha troca-se a coluna dos coeficientes de \alpha pela coluna dos termos independentes (os b_i) e divide-se pelo determinante da matriz original; análogo para \beta.]

Passo 5

Exemplo numérico em \mathbb{R}^2 (para fixar). Seja
\vec{A}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad \vec{C}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad \vec{B}=\begin{pmatrix}7\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Calcule \Delta:
\Delta=\begin{vmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-2\cdot3=1-6=-5\neq0.
Logo há solução única. Numeradores:
\begin{vmatrix}7 & 3\\[4pt]5 & 1\end{vmatrix}=7\cdot1-5\cdot3=7-15=-8, \qquad \begin{vmatrix}1 & 7\\[4pt]2 & 5\end{vmatrix}=1\cdot5-2\cdot7=5-14=-9.
Portanto
\alpha=\dfrac{-8}{-5}=\dfrac{8}{5}=1{,}6,\qquad \beta=\dfrac{-9}{-5}=\dfrac{9}{5}=1{,}8.
Verificação rápida: \alpha\vec{A}+\beta\vec{C}=1{,}6(1,2)+1{,}8(3,1)=(7,5)=\vec{B}. Beleza — esse é o tipo de conta que cai fácil de cabeça na prova.]

Passo 6

Caso em \mathbb{R}^3\). Agora as componentes são \[\vec{A}=(a_1,a_2,a_3),\quad \vec{C}=(c_1,c_2,c_3),\quad \vec{B}=(b_1,b_2,b_3).
Igualando componentes obtemos 3 equações em 2 incógnitas:
\begin{cases} \alpha a_1+\beta c_1=b_1,\\[4pt] \alpha a_2+\beta c_2=b_2,\\[4pt] \alpha a_3+\beta c_3=b_3. \end{cases}
Isto só tem solução se as três equações forem compatíveis — geometricamente, \vec{B}\] tem de estar no plano gerado por \(\vec{A} e \vec{C}. Uma forma prática de testar isso é calcular o produto vetorial \vec{A}\times\vec{C} (um vetor normal ao plano) e verificar se ele é ortogonal a \vec{B}, i.e. checar se
(\vec{A}\times\vec{C})\cdot\vec{B}=0.
Se essa igualdade valer e \vec{A} e \vec{C} forem linearmente independentes, então existe solução — aí escolha duas componentes (duas das três linhas) que formem uma matriz 2\times2 com determinante não nulo, resolva como em \mathbb{R}^2 e verifique a terceira equação. Se não for compatível, não existe representação exata.]

Passo 7

Casos especiais e o que olhar na prova (dicas rápidas e práticas):
  • Se \vec{A} e \vec{C} são linearmente independentes (em \mathbb{R}^2 significa \Delta\neq0, em \mathbb{R}^3 significa \vec{A}\times\vec{C}\neq\vec{0}), e \vec{B} está no span deles, a representação existe e é única. Use Cramer ou substituição.
  • Se \vec{A} e \vec{C} são colineares (dependentes): ou não existe solução (se \vec{B} não pertence à mesma reta) ou existem infinitas soluções (se \vec{B} pertence à reta). Nesse caso reduza para escalares sobre uma direção só.
  • Estratégia rápida em prova: escreva as componentes, tente resolver pelas duas primeiras equações; se obtiver \alpha,\beta verifique a terceira (se existir). Se der inconsistente, resposta: não é combinação linear.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \alpha e \beta sem as componentes de \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}.

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