escreva \vec{B} como combinação linear de \vec{A} e \vec{C}.
Passo 1
O enunciado pede para escrever \vec{B} como combinação linear de \vec{A} e \vec{C}.
Informações dadas no enunciado: nenhuma — não foram fornecidas as componentes (coordenadas) de \vec{A}, \vec{B} ou \vec{C}.
O que o problema quer: encontrar escalares \alpha e \beta tais que
\vec{B}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{C}.
Passo 2
Primeira conclusão prática: sem as componentes (ou alguma relação adicional entre \vec{A},\vec{B},\vec{C}) não é possível calcular valores numéricos para \alpha e \beta. Vou então explicar passo a passo como proceder quando as componentes estiverem disponíveis — assim você resolve rapidinho na prova.
Passo 3
Definição e ideia básica. Dizer que \vec{B} é combinação linear de \vec{A} e \vec{C} significa que existem escalares \alpha e \beta tais que
\vec{B}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{C}.
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos. Para encontrar \alpha,\beta basta olhar as componentes dos vetores e montar um sistema linear igualando componente a componente. Vou mostrar isso no caso mais comum \mathbb{R}^2 e explicar o que fazer em \mathbb{R}^3 e casos especiais.
Passo 4
Caso em \mathbb{R}^2\) (mais direto em prova). Suponha
\[\vec{A}=\begin{pmatrix}a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix},\qquad \vec{C}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix},\qquad \vec{B}=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\end{pmatrix}.
Então a equação \vec{B}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{C} vira o sistema
Explicando a Regra de Cramer: para obter \alpha troca-se a coluna dos coeficientes de \alpha pela coluna dos termos independentes (os b_i) e divide-se pelo determinante da matriz original; análogo para \beta.]
Passo 5
Exemplo numérico em \mathbb{R}^2 (para fixar). Seja
Isto só tem solução se as três equações forem compatíveis — geometricamente, \vec{B}\] tem de estar no plano gerado por \(\vec{A} e \vec{C}. Uma forma prática de testar isso é calcular o produto vetorial \vec{A}\times\vec{C} (um vetor normal ao plano) e verificar se ele é ortogonal a \vec{B}, i.e. checar se
(\vec{A}\times\vec{C})\cdot\vec{B}=0.
Se essa igualdade valer e \vec{A} e \vec{C} forem linearmente independentes, então existe solução — aí escolha duas componentes (duas das três linhas) que formem uma matriz 2\times2 com determinante não nulo, resolva como em \mathbb{R}^2 e verifique a terceira equação. Se não for compatível, não existe representação exata.]
Passo 7
Casos especiais e o que olhar na prova (dicas rápidas e práticas):
Se \vec{A} e \vec{C} são linearmente independentes (em \mathbb{R}^2 significa \Delta\neq0, em \mathbb{R}^3 significa \vec{A}\times\vec{C}\neq\vec{0}), e \vec{B} está no span deles, a representação existe e é única. Use Cramer ou substituição.
Se \vec{A} e \vec{C} são colineares (dependentes): ou não existe solução (se \vec{B} não pertence à mesma reta) ou existem infinitas soluções (se \vec{B} pertence à reta). Nesse caso reduza para escalares sobre uma direção só.
Estratégia rápida em prova: escreva as componentes, tente resolver pelas duas primeiras equações; se obtiver \alpha,\beta verifique a terceira (se existir). Se der inconsistente, resposta: não é combinação linear.
Resposta
Não é possível determinar numericamente \alpha e \beta sem as componentes de \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}.