1. Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \\\ \operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right] é invertível e calcule o determinante de sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se a matriz \,A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt]\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\, é invertível.
  • Calcular o determinante da inversa de A, isto é \det\!\big(A^{-1}\big).
As informações dadas são exatamente os elementos da matriz A: o elemento da linha 1 coluna 1 é \cos\theta, da linha 1 coluna 2 é -\operatorname{sen}\theta, da linha 2 coluna 1 é \operatorname{sen}\theta e da linha 2 coluna 2 é \cos\theta. Não há mais dados numéricos; \theta é um parâmetro real qualquer.]

Passo 2

Lembrete útil (fórmula e ideia que vou usar).
  • Para uma matriz 2\times2
M=\begin{bmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{bmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os quatro elementos da matriz (linha e coluna correspondentes). Intuitivamente, o determinante mede o quanto a transformação linear representada por M escala áreas; se \det(M)=0 a transformação “aplana” o plano e a matriz não é invertível. Portanto, critério prático: uma matriz 2\times2 é invertível se, e somente se, \det(M)\neq0.
Outra propriedade que vou usar depois:
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)},
que vem de \det(AA^{-1})=\det(I)=1, logo \det(A)\det(A^{-1})=1.]

Passo 3

Aplicar a fórmula do determinante à matriz A. Identifico
a=\cos\theta,\quad b=-\operatorname{sen}\theta,\quad c=\operatorname{sen}\theta,\quad d=\cos\theta.
Então
\det(A)=a d - b c = (\cos\theta)(\cos\theta) - \big(-\operatorname{sen}\theta\big)\big(\operatorname{sen}\theta\big).
Vou desenvolver passo a passo:
\det(A)=\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta.
Uso a identidade trigonométrica fundamental (que decorre do círculo trigonométrico):
\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1
para todo \theta. Portanto
\det(A)=1.

Passo 4

Concluo a invertibilidade: como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível para todo \theta. (Intuição: A é a matriz de rotação no plano por um ângulo \theta, que não “aplana” o plano e tem inversa.)
Agora uso a propriedade dos determinantes mencionada no Passo 2:
\det\!\big(A^{-1}\big)=\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Observação adicional (útil na prova): pode-se também obter explicitamente a inversa verificando que a transposta de A é a sua inversa, isto é A^{-1}=A^{T}=\begin{bmatrix}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta\\[4pt]-\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{bmatrix}, porque as colunas de A formam um sistema ortonormal. Como \det(A^{T})=\det(A), isso confirma \det(A^{-1})=1.]

Resposta

A é invertível: sim.
\det\!\big(A^{-1}\big)=1

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