- Verifique se a matriz
é invertível e calcule o determinante de sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar se a matriz
é invertível. - Calcular o determinante da inversa de
, isto é .
As informações dadas são exatamente os elementos da matriz
: o elemento da linha 1 coluna 1 é
, da linha 1 coluna 2 é
, da linha 2 coluna 1 é
e da linha 2 coluna 2 é
. Não há mais dados numéricos;
é um parâmetro real qualquer.]
Passo 2
Lembrete útil (fórmula e ideia que vou usar).
- Para uma matriz
o determinante é dado por
Aqui
são os quatro elementos da matriz (linha e coluna correspondentes). Intuitivamente, o determinante mede o quanto a transformação linear representada por
escala áreas; se
a transformação “aplana” o plano e a matriz não é invertível. Portanto, critério prático: uma matriz
é invertível se, e somente se,
.
Outra propriedade que vou usar depois:
que vem de
, logo
.]
Passo 3
Aplicar a fórmula do determinante à matriz
. Identifico
Então
Vou desenvolver passo a passo:
Uso a identidade trigonométrica fundamental (que decorre do círculo trigonométrico):
para todo
. Portanto
Passo 4
Concluo a invertibilidade: como
, a matriz
é invertível para todo
. (Intuição:
é a matriz de rotação no plano por um ângulo
, que não “aplana” o plano e tem inversa.)
Agora uso a propriedade dos determinantes mencionada no Passo 2:
Passo 5
Observação adicional (útil na prova): pode-se também obter explicitamente a inversa verificando que a transposta de
é a sua inversa, isto é
, porque as colunas de
formam um sistema ortonormal. Como
, isso confirma
.]
Resposta
A é invertível: sim.