Exemplo 12: A Quality Desk Company fabrica dois tipos de mesas de computador a partir de painéis de partículas laminados.
  • O modelo Presidential requer 30 pés quadrados de painel, 1 mecanismo deslizante para teclado e 5 horas de trabalho para ser fabricado. Ele é vendido por US$ 149.
  • O modelo Senator requer 24 pés quadrados de painel, 1 mecanismo deslizante para teclado e 3 horas de trabalho para ser fabricado. Ele é vendido por US$ 135.
Na próxima semana, a empresa pode comprar até 15.000 pés quadrados de painel de partículas a US$ 1,35 por pé quadrado e até 600 mecanismos deslizantes de teclado a um custo de US 4,75 cada. A empresa considera a mão de obra de fabricação como um custo fixo e terá 3.000 horas de trabalho disponíveis na próxima semana para a fabricação dessas mesas.
Questões: a. Formule um modelo de programação linear (PL) para este problema. b. Esboce a região viável para este problema. c. Qual é a solução ótima?

Passo 1

O enunciado pede três coisas (vou listar claramente cada pergunta) e fornece os dados a seguir.
Perguntas:
  • (a) Formule um modelo de programação linear (PL) para o problema.
  • (b) Esboce a região viável para esse PL.
  • (c) Encontre a solução ótima (quantidade de cada modelo a fabricar e valor objetivo).
Dados fornecidos:
  • Dois tipos de mesas: Presidential e Senator.
  • Recursos e requisitos por unidade:
    • Mesa Presidential:
      • Painel: 30 pés²
      • Mecanismo deslizante: 1
      • Mão de obra: 5 horas
      • Preço de venda: \$149
    • Mesa Senator:
      • Painel: 24 pés²
      • Mecanismo deslizante: 1
      • Mão de obra: 3 horas
      • Preço de venda: \$135
  • Disponibilidades e custos dos insumos na próxima semana:
    • Painel disponível: até 15\,000 pés² a \$1{,}35 por pé².
    • Mecanismos disponíveis: até 600 unidades a \$4{,}75 cada.
    • Mão de obra: custo considerado fixo; disponível 3\,000 horas.
  • Observação importante dada no enunciado: a mão de obra é custo fixo (portanto não entra no custo variável por unidade), mas os painéis e mecanismos têm custo variável e devem ser subtraídos da receita para formar o lucro por unidade.
Não vou resolver nada neste passo; apenas organizei o que foi pedido e todos os números que vamos usar.

Passo 2

Definição de variáveis e ideia do modelo (sem ainda escrever o PL completo): escolher variáveis óbvias para contar quantas mesas produzir.
Definir:
x_1 = \text{número de mesas Presidential a fabricar na próxima semana}úó
x_2 = \text{número de mesas Senator a fabricar na próxima semana}úó
Condições naturais:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0.
O objetivo será maximizar o lucro total (receita menos custo dos insumos que são variáveis: painéis e mecanismos). A mão de obra não entra no custo variável (é fixa segundo o enunciado).
Agora vou calcular o lucro por unidade de cada modelo.

Passo 3

Cálculo do custo dos insumos por unidade e do lucro por unidade (aqui explico como pensar nisso):
  • Custo do painel por unidade: multiplicar área usada pela mesa pelo custo por pé².
  • Custo do mecanismo por unidade: é \$4{,}75 por mecanismo (1 por mesa).
  • Lucro por unidade = preço de venda − (custo painel + custo mecanismo).
Calcule para cada modelo:
Presidential:
\text{custo painel} = 30 \times 1{,}35 = 40{,}5
\text{custo mecanismo} = 4{,}75
\text{custo total insumos} = 40{,}5 + 4{,}75 = 45{,}25
\text{lucro por unidade} = 149 - 45{,}25 = 103{,}75
Senator:
\text{custo painel} = 24 \times 1{,}35 = 32{,}4
\text{custo mecanismo} = 4{,}75
\text{custo total insumos} = 32{,}4 + 4{,}75 = 37{,}15
\text{lucro por unidade} = 135 - 37{,}15 = 97{,}85
Explicação didática curta: é comum em problemas de produção transformar preços e custos em lucro unitário quando queremos maximizar lucro, porque a mão de obra é fixa aqui e não afeta a escolha marginal.

Passo 4

Escrever o modelo de programação linear (PL) completo usando os lucros unitários e as restrições de recursos.
Função objetivo (maximizar lucro total):
\text{Maximizar}\quad Z = 103{,}75\,x_1 + 97{,}85\,x_2
Restrições (recursos disponíveis):
  • Painel (pés²):
30\,x_1 + 24\,x_2 \le 15\,000
  • Mecanismos:
x_1 + x_2 \le 600
  • Mão de obra (horas):
5\,x_1 + 3\,x_2 \le 3\,000
  • Não negatividade:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0
Esse é o PL formulado. (Isto responde a parte (a) pedida.)

Passo 5

Esboçar a região viável: método prático para desenhar no papel (vou computar os interceptos das retas para você poder esboçar com precisão).
Para cada restrição, achar os interceptos com os eixos x_1 e x_2:
  1. Restrição de painel 30x_1 + 24x_2 = 15000.
  • Se x_2 = 0, x_1 = \dfrac{15000}{30} = 500.
  • Se x_1 = 0, x_2 = \dfrac{15000}{24} = 625.
  1. Restrição de mecanismos x_1 + x_2 = 600.
  • Se x_2 = 0, x_1 = 600.
  • Se x_1 = 0, x_2 = 600.
  1. Restrição de mão de obra 5x_1 + 3x_2 = 3000.
  • Se x_2 = 0, x_1 = \dfrac{3000}{5} = 600.
  • Se x_1 = 0, x_2 = \dfrac{3000}{3} = 1000.
Como esboçar a região viável:
  • No papel escolha o eixo horizontal para x_1 e vertical para x_2.
  • Marque os pontos intercepto de cada reta: para painel (500,0) e (0,625); para mecanismos (600,0) e (0,600); para mão de obra (600,0) e (0,1000).
  • A região viável é a interseção dos semiplanos abaixo/à esquerda de cada reta (as desigualdades \le) e x_1,x_2\ge0.
  • Observação útil: a reta de mecanismos está em posições relativamente baixas (600), a de painel corta antes em x_1=500, e a de mão de obra permite até x_1=600 se fosse só ela. Portanto a reta de painel costuma ser a que limita x_1 antes da restrição de mão de obra.
Dica para o esboço final: conecte os pontos de interseção relevantes que ficam no primeiro quadrante; o polígono formado por esses pontos é a região viável.

Passo 6

Determinação dos vértices candidatos (pontos extremos): regra prática e por que fazemos isso
  • Teorema fundamental do PL: uma função linear em um poliedro convexo atinge seu máximo (se existir) em algum vértice (canto) do poliedro. Logo basta avaliar [Z) nos vértices da região viável.
  • Vértices ocorrem em interseções de duas restrições ativas (ou de uma restrição ativa com um eixo).
Encontrar as interseções relevantes no 1º quadrante:
A) Interseção entre painel e mecanismos: resolver
\begin{cases} 30x_1 + 24x_2 = 15000,\\[4pt] x_1 + x_2 = 600. \end{cases}
Da segunda, x_1 = 600 - x_2\]. Substituindo: \[30(600 - x_2) + 24x_2 = 15000.\] Calcular: \[18{,}000 - 30x_2 + 24x_2 = 15{,}000 \quad\Rightarrow\quad -6x_2 = -3{,}000.\] Logo \[x_2 = 500,\qquad x_1 = 600 - 500 = 100.\] Ponto: \[(100,\,500).
B) Interseção entre mecanismos e mão de obra: resolver
\begin{cases} x_1 + x_2 = 600,\\[4pt] 5x_1 + 3x_2 = 3000. \end{cases}
Da primeira, x_1 = 600 - x_2\]. Substituindo: \[5(600 - x_2) + 3x_2 = 3000 \quad\Rightarrow\quad 3000 -5x_2 +3x_2 = 3000.\] Logo \[-2x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0,\qquad x_1 = 600.\] Mas verificar se \[(600,0) satisfaz painel: 30\cdot600 = 18{,}000 > 15{,}000. Portanto (600,0) NÃO está na região viável (violação da restrição de painel). Assim esse ponto não é candidato.
C) Interseção entre painel e mão de obra: resolver
\begin{cases} 30x_1 + 24x_2 = 15000,\\[4pt] 5x_1 + 3x_2 = 3000. \end{cases}
Multiplicar a segunda por 6\] para alinhar coeficientes de \(x_1:
30x_1 + 18x_2 = 18000.
Subtrair da equação do painel:
(30x_1 + 18x_2) - (30x_1 + 24x_2) = 18000 - 15000 \quad\Rightarrow\quad -6x_2 = 3000.
Isso dá x_2 = -500, número negativo. Portanto a interseção está fora do primeiro quadrante e não é relevante.
D) Interseções com eixos (pontos onde uma variável é zero):
  • Com x_2 = 0: as restrições dão limites x_1 \le \min(500,600,600) = 500. Ponto extremo relevante (500,0) (vêm da restrição de painel).
  • Com x_1 = 0: limites x_2 \le \min(625,600,1000) = 600. Ponto extremo relevante (0,600) (vêm da restrição de mecanismos).
Resumo dos vértices candidatos no polígono viável (1º quadrante):
(0,0),\quad (500,0),\quad (100,500),\quad (0,600).]

Passo 7

Avaliar a função objetivo Z = 103{,}75\,x_1 + 97{,}85\,x_2 em cada vértice candidato (vou mostrar as contas para você poder conferir sem calculadora complexa).
  1. Em (0,0):
Z = 103{,}75\cdot 0 + 97{,}85\cdot 0 = 0.
  1. Em (500,0):
Z = 103{,}75\cdot 500 + 97{,}85\cdot 0 = 103{,}75 \times 500.
Calcule 103{,}75\times 500 = 103{,}75 \times (5\times100) = (103{,}75\times5)\times100.
103{,}75\times5 = 518{,}75 \quad\Rightarrow\quad 518{,}75\times100 = 51{,}875.
Portanto Z = 51{,}875.
  1. Em (0,600):
Z = 103{,}75\cdot 0 + 97{,}85\cdot 600 = 97{,}85 \times 600.
Calcule 97{,}85\times600 = 97{,}85\times6\times100.
97{,}85\times6 = 587{,}10 \quad\Rightarrow\quad 587{,}10\times100 = 58{,}710.
Portanto Z = 58{,}710.
  1. Em (100,500):
Z = 103{,}75\cdot 100 + 97{,}85\cdot 500.
Calcule separadamente:
103{,}75\times100 = 10{,}375,
97{,}85\times500 = 97{,}85\times5\times100 = 489{,}25\times100 = 48{,}925.
Somando:
Z = 10{,}375 + 48{,}925 = 59{,}300.
Comparando valores:
0,\quad 51{,}875,\quad 58{,}710,\quad 59{,}300.
O maior é 59{,}300 em (100,\,500).

Passo 8

Interpretação final e verificação de restrições no ponto ótimo (100,500):
Recursos consumidos em (100,500):
  • Painel: 30\cdot100 + 24\cdot500 = 3{,}000 + 12{,}000 = 15{,}000 (usa todo o painel disponível).
  • Mecanismos: 1\cdot100 + 1\cdot500 = 600 (usa todos os mecanismos disponíveis).
  • Mão de obra: 5\cdot100 + 3\cdot500 = 500 + 1{,}500 = 2{,}000 horas (sobram 1{,}000 horas, já que disponível é 3{,}000).
Conclusão: a solução ótima é fabricar 100 mesas Presidential e 500 mesas Senator; nesta produção o lucro máximo é \$59{,}300. As restrições ativas (binding) são painel e mecanismos; mão de obra não está totalmente usada.

Resposta

(a) Modelo PL:
\text{Maximizar}\quad Z = 103{,}75\,x_1 + 97{,}85\,x_2
sujeito a
30\,x_1 + 24\,x_2 \le 15{,}000,
x_1 + x_2 \le 600,
5\,x_1 + 3\,x_2 \le 3{,}000,
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0.
(b) Região viável: polígono convexo no primeiro quadrante formado pela interseção das meias-planes definidas por 30x_1+24x_2\le15000, x_1+x_2\le600, 5x_1+3x_2\le3000 e os eixos; vértices relevantes: (0,0), (500,0), (100,500), (0,600). (Esboço: trace as retas pelos interceptos (500,0)-(0,625), (600,0)-(0,600) e (600,0)-(0,1000) e tome a região comum com x_1,x_2\ge0.)
(c) Solução ótima:
x_1 = 100\\ (\text{Presidential}),\quad x_2 = 500\\ (\text{Senator});
lucro máximo Z = \$59{,}300.

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