Exemplo 12: A Quality Desk Company fabrica dois tipos de mesas de computador a partir de painéis de partículas laminados.
- O modelo Presidential requer 30 pés quadrados de painel, 1 mecanismo deslizante para teclado e 5 horas de trabalho para ser fabricado. Ele é vendido por US$ 149.
- O modelo Senator requer 24 pés quadrados de painel, 1 mecanismo deslizante para teclado e 3 horas de trabalho para ser fabricado. Ele é vendido por US$ 135.
Na próxima semana, a empresa pode comprar até 15.000 pés quadrados de painel de partículas a US$ 1,35 por pé quadrado e até 600 mecanismos deslizantes de teclado a um custo de US 4,75 cada. A empresa considera a mão de obra de fabricação como um custo fixo e terá 3.000 horas de trabalho disponíveis na próxima semana para a fabricação dessas mesas.
Questões: a. Formule um modelo de programação linear (PL) para este problema. b. Esboce a região viável para este problema. c. Qual é a solução ótima?
Passo 1
O enunciado pede três coisas (vou listar claramente cada pergunta) e fornece os dados a seguir.
Perguntas:
- (a) Formule um modelo de programação linear (PL) para o problema.
- (b) Esboce a região viável para esse PL.
- (c) Encontre a solução ótima (quantidade de cada modelo a fabricar e valor objetivo).
Dados fornecidos:
- Dois tipos de mesas: Presidential e Senator.
- Recursos e requisitos por unidade:
- Mesa Presidential:
- Painel:
pés² - Mecanismo deslizante:
- Mão de obra:
horas - Preço de venda:
- Painel:
- Mesa Senator:
- Painel:
pés² - Mecanismo deslizante:
- Mão de obra:
horas - Preço de venda:
- Painel:
- Mesa Presidential:
- Disponibilidades e custos dos insumos na próxima semana:
- Painel disponível: até
pés² a por pé². - Mecanismos disponíveis: até
unidades a cada. - Mão de obra: custo considerado fixo; disponível
horas.
- Painel disponível: até
- Observação importante dada no enunciado: a mão de obra é custo fixo (portanto não entra no custo variável por unidade), mas os painéis e mecanismos têm custo variável e devem ser subtraídos da receita para formar o lucro por unidade.
Não vou resolver nada neste passo; apenas organizei o que foi pedido e todos os números que vamos usar.
Passo 2
Definição de variáveis e ideia do modelo (sem ainda escrever o PL completo): escolher variáveis óbvias para contar quantas mesas produzir.
Definir:
Condições naturais:
O objetivo será maximizar o lucro total (receita menos custo dos insumos que são variáveis: painéis e mecanismos). A mão de obra não entra no custo variável (é fixa segundo o enunciado).
Agora vou calcular o lucro por unidade de cada modelo.
Passo 3
Cálculo do custo dos insumos por unidade e do lucro por unidade (aqui explico como pensar nisso):
- Custo do painel por unidade: multiplicar área usada pela mesa pelo custo por pé².
- Custo do mecanismo por unidade: é
por mecanismo (1 por mesa). - Lucro por unidade = preço de venda − (custo painel + custo mecanismo).
Calcule para cada modelo:
Presidential:
Senator:
Explicação didática curta: é comum em problemas de produção transformar preços e custos em lucro unitário quando queremos maximizar lucro, porque a mão de obra é fixa aqui e não afeta a escolha marginal.
Passo 4
Escrever o modelo de programação linear (PL) completo usando os lucros unitários e as restrições de recursos.
Função objetivo (maximizar lucro total):
Restrições (recursos disponíveis):
- Painel (pés²):
- Mecanismos:
- Mão de obra (horas):
- Não negatividade:
Esse é o PL formulado. (Isto responde a parte (a) pedida.)
Passo 5
Esboçar a região viável: método prático para desenhar no papel (vou computar os interceptos das retas para você poder esboçar com precisão).
Para cada restrição, achar os interceptos com os eixos
e
:
- Restrição de painel
.
- Se
, . - Se
, .
- Restrição de mecanismos
.
- Se
, . - Se
, .
- Restrição de mão de obra
.
- Se
, . - Se
, .
Como esboçar a região viável:
- No papel escolha o eixo horizontal para
e vertical para . - Marque os pontos intercepto de cada reta: para painel (500,0) e (0,625); para mecanismos (600,0) e (0,600); para mão de obra (600,0) e (0,1000).
- A região viável é a interseção dos semiplanos abaixo/à esquerda de cada reta (as desigualdades
) e . - Observação útil: a reta de mecanismos está em posições relativamente baixas (600), a de painel corta antes em
, e a de mão de obra permite até se fosse só ela. Portanto a reta de painel costuma ser a que limita antes da restrição de mão de obra.
Dica para o esboço final: conecte os pontos de interseção relevantes que ficam no primeiro quadrante; o polígono formado por esses pontos é a região viável.
Passo 6
Determinação dos vértices candidatos (pontos extremos): regra prática e por que fazemos isso
- Teorema fundamental do PL: uma função linear em um poliedro convexo atinge seu máximo (se existir) em algum vértice (canto) do poliedro. Logo basta avaliar [Z) nos vértices da região viável.
- Vértices ocorrem em interseções de duas restrições ativas (ou de uma restrição ativa com um eixo).
Encontrar as interseções relevantes no 1º quadrante:
A) Interseção entre painel e mecanismos: resolver
Da segunda,
.
B) Interseção entre mecanismos e mão de obra: resolver
Da primeira,
satisfaz painel:
. Portanto
NÃO está na região viável (violação da restrição de painel). Assim esse ponto não é candidato.
C) Interseção entre painel e mão de obra: resolver
Multiplicar a segunda por
:
Subtrair da equação do painel:
Isso dá
, número negativo. Portanto a interseção está fora do primeiro quadrante e não é relevante.
D) Interseções com eixos (pontos onde uma variável é zero):
- Com
: as restrições dão limites . Ponto extremo relevante (vêm da restrição de painel). - Com
: limites . Ponto extremo relevante (vêm da restrição de mecanismos).
Resumo dos vértices candidatos no polígono viável (1º quadrante):
Passo 7
Avaliar a função objetivo
em cada vértice candidato (vou mostrar as contas para você poder conferir sem calculadora complexa).
- Em
:
- Em
:
Calcule
.
Portanto
.
- Em
:
Calcule
.
Portanto
.
- Em
:
Calcule separadamente:
Somando:
Comparando valores:
O maior é
em
.
Passo 8
Interpretação final e verificação de restrições no ponto ótimo
:
Recursos consumidos em
:
- Painel:
(usa todo o painel disponível). - Mecanismos:
(usa todos os mecanismos disponíveis). - Mão de obra:
horas (sobram horas, já que disponível é ).
Conclusão: a solução ótima é fabricar
mesas Presidential e
mesas Senator; nesta produção o lucro máximo é
. As restrições ativas (binding) são painel e mecanismos; mão de obra não está totalmente usada.
Resposta
(a) Modelo PL:
sujeito a
(b) Região viável: polígono convexo no primeiro quadrante formado pela interseção das meias-planes definidas por
,
,
e os eixos; vértices relevantes:
. (Esboço: trace as retas pelos interceptos
,
e
e tome a região comum com
.)
(c) Solução ótima:
lucro máximo
.