Sejam os vetores v_{1}=(-3,4,5) e v_{2}=(1,2,-1).
(a) Escreva o vetor w=(-13,-6,17) como combinação dos vetores v_{1} e v_{2}.
(b) Para que valor de k, o vetor (k, 0,-7) é combinação dos vetores v_{1} e v_{2}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores v_{1}=(-3,4,5) e v_{2}=(1,2,-1) e pede duas coisas:
  • (a) Escrever o vetor w=(-13,-6,17) como combinação linear de v_{1} e v_{2}.
  • (b) Determinar para que valor de k o vetor (k,0,-7) é combinação linear de v_{1} e v_{2}.
Informações relevantes dadas:
  • v_{1}=(-3,4,5).
  • v_{2}=(1,2,-1).
  • w=(-13,-6,17).
  • No item (b) o vetor é (k,0,-7), com k desconhecido.

Passo 2

O que significa ser uma combinação linear: dizer que um vetor u é combinação linear de v_{1} e v_{2} quer dizer que existem escalares a e b tais que
u = a\,v_{1} + b\,v_{2}.
Escrevendo componente a componente, se v_{1}=(v_{11},v_{12},v_{13}) e v_{2}=(v_{21},v_{22},v_{23}), então
a\,v_{1}+b\,v_{2} = (a v_{11} + b v_{21},\; a v_{12} + b v_{22},\; a v_{13} + b v_{23}).
Para encontrar a e b fazemos igualar componente a componente e resolvemos o sistema linear resultante. Vou aplicar isso nos dois itens.

Passo 3

Item (a). Procuramos a,b tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}=w,
ou seja, componente a componente:
-3a + b = -13, \tag{1}
4a + 2b = -6, \tag{2}
5a - b = 17. \tag{3}

Passo 4

Resolver o sistema do item (a) passo a passo. Da equação (1) isolamos b:
b = -13 + 3a. \tag{4}
Substituímos (4) em (2):
4a + 2(-13 + 3a) = -6.
Agora desenvolvemos:
4a -26 + 6a = -6,
10a -26 = -6,
10a = 20,
a = 2.
Usando (4),
b = -13 + 3\cdot 2 = -13 + 6 = -7.
Vale checar a equação (3) para garantir consistência:
5a - b = 5\cdot 2 - (-7) = 10 + 7 = 17,
que coincide com o lado direito de (3). Portanto o sistema é consistente e os coeficientes são a=2 e b=-7.

Passo 5

Interpretação do resultado do item (a): o vetor w pode ser escrito como
w = 2\,v_{1} - 7\,v_{2}.
Isso é exatamente a combinação linear encontrada.

Passo 6

Item (b). Procuramos a,b e um k (valor que queremos) tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2} = (k,0,-7).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
-3a + b = k, \tag{1'}
4a + 2b = 0, \tag{2'}
5a - b = -7. \tag{3'}

Passo 7

Resolver o sistema (1')\!-\!(3') para encontrar a,b e então k. Da equação (2') isolamos b:
4a + 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b = -4a \quad\Rightarrow\quad b = -2a. \tag{4'}
Substituímos (4') em (3'):
5a - (-2a) = -7,
5a + 2a = -7,
7a = -7,
a = -1.
Então, por (4'),
b = -2a = -2(-1) = 2.
Agora usamos (1') para obter k:
k = -3a + b = -3(-1) + 2 = 3 + 2 = 5.

Passo 8

Verificação rápida: com a=-1 e b=2 temos
-1\cdot v_{1} + 2\cdot v_{2} = -1(-3,4,5) + 2(1,2,-1) = (3,-4,-5) + (2,4,-2) = (5,0,-7),
portanto o valor k=5 está correto.

Resposta

w = 2\,v_{1} - 7\,v_{2}
k = 5

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