Sejam os vetores v_{1}=(-3,4,5) e v_{2}=(1,2,-1).
(a) Escreva o vetor w=(-13,-6,17) como combinação dos vetores v_{1} e v_{2}.
(b) Para que valor de k, o vetor (k, 0,-7) é combinação dos vetores v_{1} e v_{2}.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores v_{1}=(-3,4,5) e v_{2}=(1,2,-1) e pede duas coisas:
(a) Escrever o vetor w=(-13,-6,17) como combinação linear de v_{1} e v_{2}.
(b) Determinar para que valor de k o vetor (k,0,-7) é combinação linear de v_{1} e v_{2}.
Informações relevantes dadas:
v_{1}=(-3,4,5).
v_{2}=(1,2,-1).
w=(-13,-6,17).
No item (b) o vetor é (k,0,-7), com k desconhecido.
Passo 2
O que significa ser uma combinação linear: dizer que um vetor u é combinação linear de v_{1} e v_{2} quer dizer que existem escalares a e b tais que
u = a\,v_{1} + b\,v_{2}.
Escrevendo componente a componente, se v_{1}=(v_{11},v_{12},v_{13}) e v_{2}=(v_{21},v_{22},v_{23}), então
a\,v_{1}+b\,v_{2} = (a v_{11} + b v_{21},\; a v_{12} + b v_{22},\; a v_{13} + b v_{23}).
Para encontrar a e b fazemos igualar componente a componente e resolvemos o sistema linear resultante. Vou aplicar isso nos dois itens.
Passo 3
Item (a). Procuramos a,b tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}=w,
ou seja, componente a componente:
-3a + b = -13, \tag{1}
4a + 2b = -6, \tag{2}
5a - b = 17. \tag{3}
Passo 4
Resolver o sistema do item (a) passo a passo. Da equação (1) isolamos b:
b = -13 + 3a. \tag{4}
Substituímos (4) em (2):
4a + 2(-13 + 3a) = -6.
Agora desenvolvemos:
4a -26 + 6a = -6,
10a -26 = -6,
10a = 20,
a = 2.
Usando (4),
b = -13 + 3\cdot 2 = -13 + 6 = -7.
Vale checar a equação (3) para garantir consistência:
5a - b = 5\cdot 2 - (-7) = 10 + 7 = 17,
que coincide com o lado direito de (3). Portanto o sistema é consistente e os coeficientes são a=2 e b=-7.
Passo 5
Interpretação do resultado do item (a): o vetor w pode ser escrito como
w = 2\,v_{1} - 7\,v_{2}.
Isso é exatamente a combinação linear encontrada.
Passo 6
Item (b). Procuramos a,b e um k (valor que queremos) tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2} = (k,0,-7).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
-3a + b = k, \tag{1'}
4a + 2b = 0, \tag{2'}
5a - b = -7. \tag{3'}
Passo 7
Resolver o sistema (1')\!-\!(3') para encontrar a,b e então k. Da equação (2') isolamos b: