Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação a soma e multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contra-exemplo.
W=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & w\end{array}\right] \in M(2,2) ; x=y\right. e \left.w=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto W de M(2,2) (matrizes 2\times2) definido por
W=\left\{\left[\begin{array}{cc}x & y \\[4pt] z & w\end{array}\right]\in M(2,2)\;\middle|\; x=y\\ \text{ e }\\ w=0\right\}.
Pergunta: verificar se W é subespaço vetorial de M(2,2) (com as operações usuais). Se não for, apresentar um contraexemplo.]

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial? Vou lembrar a definição de um jeito simples e prático (passo-a-passo para a prova):
  • Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se satisfaz três propriedades:
    1. S contém o vetor zero de V.
    2. S é fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S.
    3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} (ou o corpo usado), então \alpha u\in S.
  • Essas três propriedades são equivalentes a pedir que S seja não vazio e fechado para soma e escalares; é o padrão que se usa na prova.
Vou checar as três propriedades para W de forma bem direta.

Passo 3

Checar se o zero está em W.
O zero em M(2,2) é a matriz nula
0=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right].
Nesse caso temos x=0, y=0, z=0, w=0. As condições x=y e w=0 são satisfeitas (pois 0=0 e w=0). Logo o zero pertence a W. Portanto a propriedade (1) está verificada.]

Passo 4

Checar fechamento por soma.
Pegue duas matrizes quaisquer em W. Escrevo-as com as incógnitas que obedecem às restrições de W:
A=\left[\begin{array}{cc}x_1 & x_1 \\[4pt] z_1 & 0\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}x_2 & x_2 \\[4pt] z_2 & 0\end{array}\right],
onde x_1,x_2,z_1,z_2\in\mathbb{R} (peguei y=x e w=0 a partir da definição). Agora somo:
A+B=\left[\begin{array}{cc}x_1+x_2 & x_1+x_2 \\[4pt] z_1+z_2 & 0+0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}x_1+x_2 & x_1+x_2 \\[4pt] z_1+z_2 & 0\end{array}\right].
Note que na matriz soma o elemento superior esquerdo e o superior direito continuam iguais (ambos x_1+x_2) e o canto inferior direito é 0. Portanto A+B satisfaz as condições x=y e w=0, logo A+B\in W. Assim W é fechado sob adição.]

Passo 5

Checar fechamento por multiplicação por escalar.
Pegue uma matriz arbitrária em W,
A=\left[\begin{array}{cc}x & x \\[4pt] z & 0\end{array}\right],
e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Multiplicando:
\alpha A=\left[\begin{array}{cc}\alpha x & \alpha x \\[4pt] \alpha z & \alpha\cdot 0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\alpha x & \alpha x \\[4pt] \alpha z & 0\end{array}\right].
Na matriz \alpha A o elemento superior esquerdo e direito são iguais ( \alpha x), e o canto inferior direito é 0. Assim \alpha A\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 6

Resumo das verificações (sem repetir a resposta final): verificou-se que o zero está em W, que a soma de dois elementos de W permanece em W e que a multiplicação por escalar de um elemento de W permanece em W. Essas três verificações são exatamente as condições necessárias para um subespaço.

Passo 7

Comentário adicional (útil para a prova): descrever a forma geral dos vetores de W, achar uma base e a dimensão — isso ajuda a entender estruturalmente W.
Qualquer matriz de W tem a forma
\left[\begin{array}{cc}x & x \\[4pt] z & 0\end{array}\right] = x\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right] + z\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right].
Logo W é o subespaço gerado por
E_1=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\qquad E_2=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right].
Verifica-se que E_1 e E_2 são linearmente independentes (a combinação linear aE_1+bE_2=0 força a=b=0), então \{E_1,E_2\} é uma base de W. Portanto \dim W=2.]

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de M(2,2).\nUma base é \displaystyle \left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right]\right\} e \dim W=2.]

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