Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais em relação a soma e multiplicação por escalar usuais, em caso negativo, de um contra-exemplo. W=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & w\end{array}\right] \in M(2,2) ; x=y\right. e \left.w=0\right\}
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto W de M(2,2) (matrizes 2\times2) definido por
W=\left\{\left[\begin{array}{cc}x & y \\[4pt] z & w\end{array}\right]\in M(2,2)\;\middle|\; x=y\\ \text{ e }\\ w=0\right\}.
Pergunta: verificar se W é subespaço vetorial de M(2,2) (com as operações usuais). Se não for, apresentar um contraexemplo.]
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial? Vou lembrar a definição de um jeito simples e prático (passo-a-passo para a prova):
Um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se satisfaz três propriedades:
S contém o vetor zero de V.
S é fechado sob soma: se u,v\in S então u+v\in S.
S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R} (ou o corpo usado), então \alpha u\in S.
Essas três propriedades são equivalentes a pedir que S seja não vazio e fechado para soma e escalares; é o padrão que se usa na prova.
Vou checar as três propriedades para W de forma bem direta.
Nesse caso temos x=0, y=0, z=0, w=0. As condições x=y e w=0 são satisfeitas (pois 0=0 e w=0). Logo o zero pertence a W. Portanto a propriedade (1) está verificada.]
Passo 4
Checar fechamento por soma.
Pegue duas matrizes quaisquer em W. Escrevo-as com as incógnitas que obedecem às restrições de W:
Note que na matriz soma o elemento superior esquerdo e o superior direito continuam iguais (ambos x_1+x_2) e o canto inferior direito é 0. Portanto A+B satisfaz as condições x=y e w=0, logo A+B\in W. Assim W é fechado sob adição.]
Passo 5
Checar fechamento por multiplicação por escalar.
Pegue uma matriz arbitrária em W,
A=\left[\begin{array}{cc}x & x \\[4pt] z & 0\end{array}\right],
e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Multiplicando:
\alpha A=\left[\begin{array}{cc}\alpha x & \alpha x \\[4pt] \alpha z & \alpha\cdot 0\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}\alpha x & \alpha x \\[4pt] \alpha z & 0\end{array}\right].
Na matriz \alpha A o elemento superior esquerdo e direito são iguais (\alpha x), e o canto inferior direito é 0. Assim \alpha A\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 6
Resumo das verificações (sem repetir a resposta final): verificou-se que o zero está em W, que a soma de dois elementos de W permanece em W e que a multiplicação por escalar de um elemento de W permanece em W. Essas três verificações são exatamente as condições necessárias para um subespaço.
Passo 7
Comentário adicional (útil para a prova): descrever a forma geral dos vetores de W, achar uma base e a dimensão — isso ajuda a entender estruturalmente W.
Verifica-se que E_1 e E_2 são linearmente independentes (a combinação linear aE_1+bE_2=0 força a=b=0), então \{E_1,E_2\} é uma base de W. Portanto \dim W=2.]
Resposta
Sim. W é subespaço vetorial de M(2,2).\nUma base é \displaystyle \left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right]\right\} e \dim W=2.]