Escreva o vetor \vec{w}=(4,-3,5) como uma combinação linear dos vetores
\vec{u}=(1,-1,1) \text { e } \vec{v}=(-2,1,-3)
Resp.: \vec{w}=2 \vec{u}-\vec{v}.

Passo 1

O problema pede para expressar o vetor \vec{w}=(4,-3,5) como combinação linear dos vetores
\vec{u}=(1,-1,1) \quad\text{e}\quad \vec{v}=(-2,1,-3).
O conteúdo aqui é Álgebra Linear (combinação linear de vetores). Vamos precisar definir coeficientes escalares e resolver um sistema para encontrá-los.

Passo 2

Suponha que existam escalares a e b tais que
\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}.

Passo 3

Substituindo \vec{u} e \vec{v} em componentes, temos
a\,(1,-1,1) + b\,(-2,1,-3) = (4,-3,5).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} a - 2b = 4,\\\\ -\,a + b = -3,\\\ a - 3b = 5. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação -a + b = -3 segue
b = a - 3.
Substituindo em a - 2b = 4
a - 2(a - 3) = 4 \quad\Longrightarrow\quad a - 2a + 6 = 4 \quad\Longrightarrow\quad -a = -2 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Então
b = 2 - 3 = -1.
Verificação na terceira equação:
a - 3b = 2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5,
confirma que está tudo certo.

Resposta

\displaystyle \vec{w} = 2\,\vec{u} - \vec{v}.

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