Escreva o vetor \vec{w}=(1,-1,1) como uma combinação linear dos vetores
\vec{u}=(1,-3,-1) \text { e } \vec{v}=(-2,1,-3) .
Resp.: \vec{w}=\frac{1}{5} \vec{u}-\frac{2}{5} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \vec w=(1,-1,1) como combinação linear dos vetores \vec u=(1,-3,-1) e \vec v=(-2,1,-3). Isso significa encontrar escalares a e b tais que
a\,\vec u + b\,\vec v = \vec w.

Passo 2

Escrevendo essa igualdade nas componentes, temos
a(1,-3,-1) + b(-2,1,-3) = (1,-1,1).

Passo 3

Desse produto de vetores surgem três equações:
Primeira componente:
a - 2b = 1.
Segunda componente:
-3a + b = -1.
Terceira componente:
-\,a - 3b = 1.

Passo 4

Da primeira equação a - 2b = 1 isolamos
a = 1 + 2b.
Substituindo na segunda equação -3a + b = -1 obtemos
-3(1+2b) + b = -1 \quad\Longrightarrow\quad -3 -6b + b = -1 \quad\Longrightarrow\quad -5b = 2 \quad\Longrightarrow\quad b = -\tfrac{2}{5}.
Logo
a = 1 + 2\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr) = 1 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{5}.
Verificando na terceira equação:
-\,a -3b = -\tfrac{1}{5} -3\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr) = -\tfrac{1}{5} + \tfrac{6}{5} = 1,
o que confirma os valores de a e b.

Resposta

\vec w = \frac{1}{5}\,\vec u \;-\;\frac{2}{5}\,\vec v.

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