Para o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definido por
T(x, y, z)=(x+2 y, 3 y,-2 x+2 y+3 z)
determinar o polinômio característico, os autovalores com os respectivos autoespaços. Verifique se T é diagonalizável e, no caso afirmativo, exibir a sua matriz com relação a uma base de autovetores (exibir a base escolhida).
Passo 1
O operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é dado por
T(x,y,z)=(x+2y,\;3y,\;-2x+2y+3z).
Precisamos achar a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, determinar os autovalores e seus autoespaços, verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores e a matriz diagonal correspondente.
Passo 2
Para obter a matriz de T na base canônica e_1,e_2,e_3, calculamos
Como \dim E_{1}=1 e \dim E_{3}=2, a soma das dimensões é 3, ou seja, temos três autovetores linearmente independentes e T é diagonalizável.
Uma escolha de base de autovetores é