Escrevem-se os inteiros de 1 até 222 222. Quantas vezes o algarismo zero é escrito?

Passo 1

Resumindo, queremos contar quantas vezes o dígito zero aparece na escrita decimal de todos os inteiros de 1 até N=222\,222. O conteúdo é contagem de dígitos por posição, usando fórmula padrão de “high–cur–low” para o dígito zero.

Passo 2

Para cada posição de ordem i (unidades i=1, dezenas i=2, etc.), definimos
f = 10^{\,i-1},\quad \text{high} = \Big\lfloor \frac{N}{10\,f}\Big\rfloor,\quad \text{cur} = \Big\lfloor \frac{N}{f}\Big\rfloor \bmod 10,\quad \text{low} = N \bmod f.
O número de zeros nessa posição é
– se \text{high}=0, vale 0 (não há ciclos completos nem zeros “não-liderantes”);
– se \text{cur}=0, vale (\text{high}-1)\,f + (\text{low}+1);
– se \text{cur}>0, vale \text{high}\,f.

Passo 3

Aplicando para as cinco primeiras posições i=1 a 5:
Para f=1 i=1: \text{high}=\lfloor222\,222/10\rfloor=22\,222,\;\text{cur}=2,\;\text{low}=0 \text{cur}>0 ⇒ zeros =22\,222.
Para f=10 i=2: \text{high}=\lfloor222\,222/100\rfloor=2\,222,\;\text{cur}=2,\;\text{low}=2 ⇒ zeros =2\,222\times10=22\,220.
Para f=100 i=3: \text{high}=\lfloor222\,222/1000\rfloor=222,\;\text{cur}=2,\;\text{low}=22 ⇒ zeros =222\times100=22\,200.
Para f=1000 i=4: \text{high}=\lfloor222\,222/10^4\rfloor=22,\;\text{cur}=2,\;\text{low}=222 ⇒ zeros =22\times1000=22\,000.
Para f=10^4 i=5: \text{high}=\lfloor222\,222/10^5\rfloor=2,\;\text{cur}=2,\;\text{low}=2222 ⇒ zeros =2\times10^4=20\,000.

Passo 4

Para i=6 f=10^5: \text{high}=\lfloor222\,222/10^6\rfloor=0 ⇒ não há zeros escritos nessa posição ⇒ zeros =0.

Passo 5

Somando todas as contribuições:
22\,222 + 22\,220 + 22\,200 + 22\,000 + 20\,000 + 0 = 108\,642.

Resposta

108\,642 vezes.

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