Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?

Passo 1

Resumindo: temos 10 bancos numerados em que 5 são virados para frente e 5 para trás. Há 10 passageiros, dos quais 4 só aceitam frente, 3 só aceitam costas e 3 não têm preferência. O conteúdo é permutações com restrição de lugares por preferência.

Passo 2

Primeiro vamos sentar os 4 que preferem frente nos 5 bancos de frente. O número de maneiras de escolher e ordenar 4 pessoas em 5 lugares é a permutação
P(5,4)=5\times4\times3\times2=120.

Passo 3

Depois sentamos os 3 que preferem costas nos 5 bancos de costas. Analogamente:
P(5,3)=5\times4\times3=60.

Passo 4

Sobram exatamente 3 bancos (1 de frente e 2 de costas) e 3 passageiros sem preferência. Eles podem ocupar esses 3 lugares em
P(3,3)=3!=6
maneiras.

Passo 5

Pela regra do produto, o total de modos é
P(5,4)\times P(5,3)\times P(3,3) =120\times60\times6=43200.

Resposta

43200

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