Escrever a aproximação quadrática de f(x, y) :
(b) f=x^{2}+y^{2} em
(1,-1).

Passo 1

O problema pede a aproximação quadrática da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} no ponto (1,-1).\n
Informações fornecidas:
\text{Função: }f(x,y)=x^{2}+y^{2}çã
\text{Ponto de expansão: }(a,b)=(1,-1)ã
\text{O que pedir: escrever a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de ordem }2\text{) centrada em }(1,-1).çãáô

Passo 2

O que é a aproximação quadrática (vou explicar com calma): ela é o polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função de duas variáveis em torno de um ponto (a,b). A fórmula geral é a seguinte:
Q(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)\,(x-a)+f_{y}(a,b)\,(y-b) +\tfrac{1}{2}\Big(f_{xx}(a,b)\,(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)\,(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)\,(y-b)^{2}\Big).
Explicando cada coisa nessa fórmula:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto de expansão.
  • f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de primeira ordem (mostram a variação da função quando só x ou só y muda).
  • f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} são as derivadas parciais de segunda ordem (segundo comportamento local; f_{xy} é a mista).
  • As expressões (x-a) e (y-b) são as pequenas diferenças em relação ao ponto de expansão; o polinômio inclui termos constantes, lineares e quadráticos nessas diferenças.

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Lembre-se: para a derivada parcial em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa.
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Comentário rápido: o termo y^{2} não depende de x, por isso desaparece na derivada parcial f_{x}; análogo para x^{2} em f_{y}.

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem. Derivamos novamente as parciais:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(f_{x})=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_{y})=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(f_{x})=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0.
Explicação: f_{xx} e f_{yy} são constantes iguais a 2. A mista f_{xy} é 0 porque f_{x}=2x não depende de y.

Passo 5

Avaliamoas todas as quantidades no ponto (a,b)=(1,-1).
f(1,-1)=1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2,
f_{x}(1,-1)=2\cdot 1=2,\qquad f_{y}(1,-1)=2\cdot(-1)=-2,
f_{xx}(1,-1)=2,\qquad f_{xy}(1,-1)=0,\qquad f_{yy}(1,-1)=2.

Passo 6

Substituímos esses valores na fórmula geral do Passo 2. Isso nos dá um polinômio em termos de (x-1) e (y+1):
Q(x,y)=2+2(x-1)-2(y+1)+\tfrac{1}{2}\Big(2(x-1)^{2}+2\cdot 0\cdot (x-1)(y+1)+2(y+1)^{2}\Big).
Simplificando o fator \tfrac{1}{2} nos termos quadráticos:
Q(x,y)=2+2(x-1)-2(y+1)+(x-1)^{2}+(y+1)^{2}.
Se você quiser expandir isso em polinômio padrão, pode desenvolver (x-1)^{2} e (y+1)^{2} e somar os termos; ao fazer essa soma observa-se que os termos lineares e as constantes se cancelam, porque a função original já é um polinômio de grau 2. Por isso a aproximação quadrática coincide exatamente com a própria função.

Resposta

Q(x,y)=x^{2}+y^{2}

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