Escrever a aproximação quadrática de
:
(b)
em
(1,-1).
(b)
(1,-1).
Passo 1
O problema pede a aproximação quadrática da função
no ponto
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Passo 2
O que é a aproximação quadrática (vou explicar com calma): ela é o polinômio de Taylor de ordem
de uma função de duas variáveis em torno de um ponto
. A fórmula geral é a seguinte:
Explicando cada coisa nessa fórmula:
-
é o valor da função no ponto de expansão. -
e são as derivadas parciais de primeira ordem (mostram a variação da função quando só ou só muda). -
são as derivadas parciais de segunda ordem (segundo comportamento local; é a mista). - As expressões
e são as pequenas diferenças em relação ao ponto de expansão; o polinômio inclui termos constantes, lineares e quadráticos nessas diferenças.
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
. Lembre-se: para a derivada parcial em relação a
tratamos
como constante, e vice-versa.
Comentário rápido: o termo
não depende de
, por isso desaparece na derivada parcial
; análogo para
em
.
Passo 4
Agora as derivadas de segunda ordem. Derivamos novamente as parciais:
Explicação:
e
são constantes iguais a
. A mista
é
porque
não depende de
.
Passo 5
Avaliamoas todas as quantidades no ponto
.
Passo 6
Substituímos esses valores na fórmula geral do Passo 2. Isso nos dá um polinômio em termos de
e
:
Simplificando o fator
nos termos quadráticos:
Se você quiser expandir isso em polinômio padrão, pode desenvolver
e
e somar os termos; ao fazer essa soma observa-se que os termos lineares e as constantes se cancelam, porque a função original já é um polinômio de grau
. Por isso a aproximação quadrática coincide exatamente com a própria função.