Escrever a aproximação quadrática de
:
(a)
em (1,1).
(a)
Passo 1
O enunciado pede a aproximação quadrática de
em
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Ponto onde aproximar:
.
Objetivo: escrever o polinômio de Taylor de segunda ordem (aproximação quadrática) centrado em .
Objetivo: escrever o polinômio de Taylor de segunda ordem (aproximação quadrática) centrado em
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula geral (até segunda ordem) para a aproximação quadrática de uma função de duas variáveis em torno de
. Se
tem derivadas parciais até segunda ordem em
, a aproximação quadrática é
Explicando cada termo de forma simples:
-
é o valor da função no ponto central. -
e são as derivadas parciais primeiras no ponto; multiplicam as diferenças lineares e . Elas dão a parte linear da aproximação. -
, , são as segundas derivadas parciais avaliadas no ponto; combinadas como acima formam a parte quadrática. O fator aparece porque é a série de Taylor truncada na ordem 2.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Aqui uso que, para
, temos
, e no caso
, ao derivar parcialmente em relação a
ou
temos multiplicação por
.
Segundas derivadas:
Observação intuitiva: a função
é dependente apenas da soma
, então todas essas derivadas são iguais a
.
Passo 4
Avaliar todas as quantidades no ponto
. Como
em
vale
,
Passo 5
Substituir os valores na fórmula de
. Usando
e
,
Fatorando
e observando que
, podemos simplificar para uma forma mais compacta:
Outra forma equivalente, escrevendo
, é