Escrever a aproximação quadrática de f(x, y) :
(a) f=e^{x+y} em (1,1).

Passo 1

O enunciado pede a aproximação quadrática de f(x,y) em (1,1).
Informações dadas:
f(x,y)=e^{x+y}
Ponto onde aproximar: (1,1).
Objetivo: escrever o polinômio de Taylor de segunda ordem (aproximação quadrática) centrado em (1,1).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral (até segunda ordem) para a aproximação quadrática de uma função de duas variáveis em torno de (a,b). Se f tem derivadas parciais até segunda ordem em (a,b), a aproximação quadrática é
T_2(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b)+\frac{1}{2}\Bigl[f_{xx}(a,b)\,(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)\,(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)\,(y-b)^2\Bigr].
Explicando cada termo de forma simples:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto central.
  • f_x(a,b) e f_y(a,b) são as derivadas parciais primeiras no ponto; multiplicam as diferenças lineares (x-a) e (y-b). Elas dão a parte linear da aproximação.
  • f_{xx}(a,b), f_{xy}(a,b), f_{yy}(a,b) são as segundas derivadas parciais avaliadas no ponto; combinadas como acima formam a parte quadrática. O fator 1/2 aparece porque é a série de Taylor truncada na ordem 2.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x+y}. Aqui uso que, para g(u)=e^{u}, temos g'(u)=e^{u}, e no caso u=x+y, ao derivar parcialmente em relação a x ou y temos multiplicação por 1.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{x+y}=e^{x+y},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x+y}=e^{x+y}.
Segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{x+y}=e^{x+y},
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x+y}=e^{x+y},
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x+y}=e^{x+y}.
Observação intuitiva: a função e^{x+y} é dependente apenas da soma x+y, então todas essas derivadas são iguais a e^{x+y}.

Passo 4

Avaliar todas as quantidades no ponto (a,b)=(1,1). Como x+y em (1,1) vale 1+1=2,
f(1,1)=e^{2},
f_x(1,1)=f_y(1,1)=f_{xx}(1,1)=f_{xy}(1,1)=f_{yy}(1,1)=e^{2}.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula de T_2. Usando a=1 e b=1,
T_2(x,y)=e^{2}+e^{2}\,(x-1)+e^{2}\,(y-1)+\frac{1}{2}\Bigl[e^{2}\,(x-1)^2+2e^{2}\,(x-1)(y-1)+e^{2}\,(y-1)^2\Bigr].
Fatorando e^{2} e observando que (x-1)^2+2(x-1)(y-1)+(y-1)^2=\bigl((x-1)+(y-1)\bigr)^2, podemos simplificar para uma forma mais compacta:
T_2(x,y)=e^{2}\Bigl[1+(x-1)+(y-1)+\frac{1}{2}\bigl((x-1)+(y-1)\bigr)^2\Bigr].
Outra forma equivalente, escrevendo (x-1)+(y-1)=x+y-2, é
T_2(x,y)=e^{2}\Bigl[1+(x+y-2)+\frac{1}{2}(x+y-2)^2\Bigr].

Resposta

T_2(x,y)=e^{2}+e^{2}\bigl((x-1)+(y-1)\bigr)+\frac{e^{2}}{2}\bigl((x-1)+(y-1)\bigr)^2

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