Escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem no rededor do ponto
(0,0).
(c) f(x, y)=\ln (1-x y).
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos a fórmula de Taylor de primeiro e de segundo ordem em torno do ponto (0,0) para a função
f(x,y)=\ln(1-xy).
Informações relevantes que temos:
\text{função: } f(x,y)=\ln(1-xy),
\text{ponto de expansão (centro): } (0,0).
Não vamos resolver nada neste passo, só organizar o que foi pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral das aproximações de Taylor (explicando devagarinho).
Para uma função de duas variáveis f(x,y) expandida em torno de a=(a_1,a_2) e com vetor de incremento h=(x-a_1,\;y-a_2), a aproximação de primeira ordem (linear) é
T_1(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h,
onde \nabla f(a)=(f_{x}(a),f_{y}(a)) é o gradiente em a e \cdot é o produto escalar. Aqui h=(x-a_1,y-a_2).
A aproximação de segunda ordem (polinômio quadrático) é
Vamos derivar novamente. Para \,f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}f_x, tratamos f_x=-y(1-xy)^{-1} como produto de -y (constante em relação a x) por (1-xy)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia:
Comentário sobre validade: se expandirmos a função como série em t=xy usando \ln(1-t)=-t-\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{3}-\cdots para |t|<1, substituindo t=xy obtemos
ou seja, a série de Taylor (em potências de x e y) converge quando |xy|<1. Note que o primeiro termo não-nulo é -xy (grau total 2), por isso não há termo linear nem termos em x^{2} ou y^{2} até a ordem 2.
Força aí! A aproximação de primeira ordem é zero; a de segunda ordem dá -xy. Isso é exatamente o que você pode usar na prova.]