Escrever a fórmula de Taylor de primeiro e segundo ordem no rededor do ponto
(0,0).
(c) f(x, y)=\ln (1-x y).

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos a fórmula de Taylor de primeiro e de segundo ordem em torno do ponto (0,0) para a função
f(x,y)=\ln(1-xy).
Informações relevantes que temos:
\text{função: } f(x,y)=\ln(1-xy),çã
\text{ponto de expansão (centro): } (0,0).ã
Não vamos resolver nada neste passo, só organizar o que foi pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral das aproximações de Taylor (explicando devagarinho).
Para uma função de duas variáveis f(x,y) expandida em torno de a=(a_1,a_2) e com vetor de incremento h=(x-a_1,\;y-a_2), a aproximação de primeira ordem (linear) é
T_1(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h,
onde \nabla f(a)=(f_{x}(a),f_{y}(a)) é o gradiente em a e \cdot é o produto escalar. Aqui h=(x-a_1,y-a_2).
A aproximação de segunda ordem (polinômio quadrático) é
T_2(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\tfrac{1}{2}\,h^{T}Hf(a)\,h,
onde Hf(a) é a matriz Hessiana em a (matriz das segundas derivadas parciais) e h^{T}Hf(a)h é a forma quadrática associada à Hessiana.
No nosso caso o centro é a=(0,0), então h=(x,y). Agora vamos calcular f(0,0), as derivadas primeiras e segundas em (0,0).

Passo 3

Calcular f(0,0) e as derivadas parciais primeiras.
Primeiro, o valor da função no centro:
f(0,0)=\ln(1-0\cdot 0)=\ln(1)=0.
Agora as derivadas parciais. Usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=\ln(1-xy) então, pensando em g(t)=\ln t com t=1-xy, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{dx}\big(\ln(1-xy)\big)=\frac{1}{1-xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(1-xy).
Como \frac{\partial}{\partial x}(1-xy)=-y, obtemos
f_{x}(x,y)=-\frac{y}{1-xy}.
Analogamente,
f_{y}(x,y)=-\frac{x}{1-xy}.
Avaliaremos no ponto (0,0):
f_{x}(0,0)=-\frac{0}{1-0}=0,\qquad f_{y}(0,0)=-\frac{0}{1-0}=0.
Portanto o gradiente em (0,0) é \nabla f(0,0)=(0,0). Assim a aproximação de primeira ordem (linear) é simplesmente
T_1(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot(x,y)=0+0\cdot x+0\cdot y=0.
Interpretação: não há termo linear porque as derivadas parciais em (0,0) valem zero.

Passo 4

Calcular as segundas derivadas e a Hessiana em (0,0).
Partimos das primeiras derivadas já obtidas:
f_{x}(x,y)=-y(1-xy)^{-1},\qquad f_{y}(x,y)=-x(1-xy)^{-1}.
Vamos derivar novamente. Para \,f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}f_x, tratamos f_x=-y(1-xy)^{-1} como produto de -y (constante em relação a x) por (1-xy)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia:
f_{xx}(x,y)=-y\cdot \frac{d}{dx}\big((1-xy)^{-1}\big).
E
\frac{d}{dx}\big((1-xy)^{-1}\big)=(-1)(1-xy)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(1-xy)=(-1)(1-xy)^{-2}\cdot(-y)=y(1-xy)^{-2}.
Então
f_{xx}(x,y)=-y\cdot y(1-xy)^{-2}=-\frac{y^{2}}{(1-xy)^{2}}.
De modo análogo para f_{yy}:
f_{yy}(x,y)=-\frac{x^{2}}{(1-xy)^{2}}.
Agora f_{xy}. Partimos de f_x=-y(1-xy)^{-1} e derivamos em relação a y:
f_{xy}(x,y)=-1\cdot(1-xy)^{-1}-y\cdot\frac{d}{dy}\big((1-xy)^{-1}\big).
Aqui \frac{d}{dy}((1-xy)^{-1})=(-1)(1-xy)^{-2}\cdot\frac{d}{dy}(1-xy)=(-1)(1-xy)^{-2}\cdot(-x)=x(1-xy)^{-2}.
Então
f_{xy}(x,y)=-(1-xy)^{-1}-y\cdot x(1-xy)^{-2}.
Fatorando (1-xy)^{-2} obtemos
f_{xy}(x,y)=-(1-xy)^{-2}\big((1-xy)+xy\big)=-(1-xy)^{-2}.
Portanto
f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-\frac{1}{(1-xy)^{2}}.
Agora avaliamos todas as segundas derivadas no ponto (0,0):
f_{xx}(0,0)=-\frac{0^{2}}{1^{2}}=0,\qquad f_{yy}(0,0)=-\frac{0^{2}}{1^{2}}=0,
f_{xy}(0,0)=-\frac{1}{1^{2}}=-1.
A matriz Hessiana em (0,0) é, portanto,
Hf(0,0)=\begin{pmatrix}f_{xx}(0,0) & f_{xy}(0,0)\\[4pt] f_{yx}(0,0) & f_{yy}(0,0)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar o polinômio de Taylor de segunda ordem usando a fórmula
T_2(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot (x,y)+\tfrac{1}{2}\,(x,y)\,Hf(0,0)\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.
Substituindo os valores encontrados:
f(0,0)=0,\qquad \nabla f(0,0)=(0,0),
e
\frac{1}{2}\,(x,y)\begin{pmatrix}0 & -1\\\\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\,(x,y)\begin{pmatrix}-y\\\\ -x\end{pmatrix} =\frac{1}{2}(-xy-yx)=-xy.
Portanto
T_2(x,y)=-xy.
Comentário sobre validade: se expandirmos a função como série em t=xy usando \ln(1-t)=-t-\tfrac{t^{2}}{2}-\tfrac{t^{3}}{3}-\cdots para |t|<1, substituindo t=xy obtemos
\ln(1-xy)=-xy-\tfrac{(xy)^{2}}{2}-\tfrac{(xy)^{3}}{3}-\cdots,
ou seja, a série de Taylor (em potências de x e y) converge quando |xy|<1. Note que o primeiro termo não-nulo é -xy (grau total 2), por isso não há termo linear nem termos em x^{2} ou y^{2} até a ordem 2.
Força aí! A aproximação de primeira ordem é zero; a de segunda ordem dá -xy. Isso é exatamente o que você pode usar na prova.]

Resposta

T_1(x,y)=0
T_2(x,y)=-xy

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