Escrever a equação da elipse de centro na origem e focos no eixo dos x que passa pelos pontos (-3,2 \sqrt{3}) e \left(4, \frac{4 \sqrt{5}}{3}\right).
Resolução de (13): uma elipse com centro na origem e focos no eixo dos x possui equação reduzida da forma \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1, sendo \mathrm{a}>\mathrm{b}>0.
Como \mathrm{P}_{1}(-3,2 \sqrt{3}) e \mathrm{P}_{2}\left(4, \frac{4 \sqrt{5}}{3}\right) estão na elipse, suas coordenadas devem cumprir a equação da elipse, ou seja,
\left\{\begin{array} { l } { \frac { ( - 3 ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 } \\\ { \frac { 4 ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { ( \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 3 } ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{9}\left(1-\frac{12}{b^{2}}\right) \\\ \frac{16}{a^{2}}+\frac{80}{9 b^{2}}=1 \end{array}\right.\right.

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Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A elipse tem centro na origem e focos no eixo dos x.
  • Isso implica que a equação reduzida da elipse tem a forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
com a>b>0.
  • A elipse passa pelos pontos P_{1}=(-3,2\sqrt{3}) e P_{2}=\left(4,\frac{4\sqrt{5}}{3}\right).
  • O problema pede: encontrar a equação da elipse (ou seja, determinar a^{2} e b^{2}; implicitamente também se pode encontrar os focos).

Passo 2

Substituir as coordenadas dos pontos na equação da elipse para obter um sistema para a^{2} e b^{2}.
  • Como P_{1}=(-3,2\sqrt{3}) está na elipse, substituindo em \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 obtemos:
\frac{(-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{(2\sqrt{3})^{2}}{b^{2}}=1.
Calcule os quadrados: (-3)^{2}=9 e (2\sqrt{3})^{2}=4\cdot 3=12. Logo:
\frac{9}{a^{2}}+\frac{12}{b^{2}}=1. \tag{1}
  • Como P_{2}=\left(4,\frac{4\sqrt{5}}{3}\right) está na elipse, substituindo:
\frac{4^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^{2}}{b^{2}}=1.
Calcule os termos: 4^{2}=16 e \left(\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^{2}=\frac{16\cdot 5}{9}=\frac{80}{9}. Logo:
\frac{16}{a^{2}}+\frac{80}{9\,b^{2}}=1. \tag{2}

Passo 3

Tornar o sistema mais simples trocando u=\dfrac{1}{a^{2}} e v=\dfrac{1}{b^{2}}. Isso transforma as equações em um sistema linear em u e v.
  • Das equações (1) e (2) obtemos:
9u+12v=1, \tag{1'}
16u+\frac{80}{9}v=1. \tag{2'}
Essa substituição é útil porque agora temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, que é direto de resolver.

Passo 4

Resolver o sistema linear por eliminação. Vou eliminar u multiplicando as equações adequadamente.
  • Multiplique a equação (2') por 9 para remover o denominador:
144u+80v=9. \tag{2''}
  • Multiplique a equação (1') por 16 para igualar o coeficiente de u a 144:
144u+192v=16. \tag{1''}
  • Subtraindo (2'') de (1'') (ou seja, (1'')-(2'')) obtemos:
(144u+192v)-(144u+80v)=16-9.
Isso simplifica para:
112v=7.
  • Portanto
v=\frac{7}{112}=\frac{1}{16}.

Passo 5

Encontrar u usando v=\dfrac{1}{16}.
  • Voltar à equação (1'):
9u+12v=1.
Substituindo v=\dfrac{1}{16} temos:
9u+12\cdot\frac{1}{16}=1.
Calcule 12\cdot\frac{1}{16}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}. Logo:
9u+\frac{3}{4}=1.
Subtraindo \dfrac{3}{4} de ambos os lados:
9u=\frac{1}{4}.
Logo
u=\frac{1}{36}.

Passo 6

Voltar às variáveis originais a^{2} e b^{2}.
  • Lembre que u=\dfrac{1}{a^{2}} e v=\dfrac{1}{b^{2}}. Então:
a^{2}=\frac{1}{u}=36,\qquad b^{2}=\frac{1}{v}=16.
Portanto a=6 e b=4 (tomando as raízes positivas, pois a,b>0).

Passo 7

Escrever a equação da elipse e verificar rapidamente (checagem).
  • A equação é
\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1.
  • Como checagem rápida: substituindo P_{1}=(-3,2\sqrt{3}),
\frac{(-3)^{2}}{36}+\frac{(2\sqrt{3})^{2}}{16}=\frac{9}{36}+\frac{12}{16}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.
Substituindo P_{2}=\left(4,\frac{4\sqrt{5}}{3}\right),
\frac{4^{2}}{36}+\frac{\left(\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^{2}}{16}=\frac{16}{36}+\frac{\frac{80}{9}}{16}=\frac{4}{9}+\frac{80}{144}=\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1.
Ambas as verificações dão 1, portanto os cálculos estão consistentes.

Passo 8

Comentário didático rápido (como lembrar/usar isso na prova).
  • Para uma elipse com centro na origem e focos no eixo x, use sempre \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a>b.
  • Se der pontos, substitua e monte um sistema linear em 1/a^{2} e 1/b^{2}; isso costuma simplificar muito.
  • Se for necessário achar os focos, calcule c por
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
No nosso caso c^{2}=36-16=20, então os focos seriam (\pm\sqrt{20},0)=(\pm 2\sqrt{5},0).

Resposta

\dfrac{x^{2}}{36}+\dfrac{y^{2}}{16}=1

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