Escrever a equação da elipse de centro na origem e focos no eixo dos
que passa pelos pontos
e
.
Resolução de (13): uma elipse com centro na origem e focos no eixo dos x possui equação reduzida da forma
, sendo
.
Como
e
estão na elipse, suas coordenadas devem cumprir a equação da elipse, ou seja,
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Como
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A elipse tem centro na origem e focos no eixo dos
. - Isso implica que a equação reduzida da elipse tem a forma
com
.
- A elipse passa pelos pontos
e . - O problema pede: encontrar a equação da elipse (ou seja, determinar
e ; implicitamente também se pode encontrar os focos).
Passo 2
Substituir as coordenadas dos pontos na equação da elipse para obter um sistema para
e
.
- Como
está na elipse, substituindo em obtemos:
Calcule os quadrados:
e
. Logo:
- Como
está na elipse, substituindo:
Calcule os termos:
e
. Logo:
Passo 3
Tornar o sistema mais simples trocando
e
. Isso transforma as equações em um sistema linear em
e
.
- Das equações
e obtemos:
Essa substituição é útil porque agora temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, que é direto de resolver.
Passo 4
Resolver o sistema linear por eliminação. Vou eliminar
multiplicando as equações adequadamente.
- Multiplique a equação
por para remover o denominador:
- Multiplique a equação
por para igualar o coeficiente de a :
- Subtraindo
de (ou seja, ) obtemos:
Isso simplifica para:
- Portanto
Passo 5
Encontrar
usando
.
- Voltar à equação
:
Substituindo
temos:
Calcule
. Logo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Logo
Passo 6
Voltar às variáveis originais
e
.
- Lembre que
e . Então:
Portanto
e
(tomando as raízes positivas, pois
).
Passo 7
Escrever a equação da elipse e verificar rapidamente (checagem).
- A equação é
- Como checagem rápida: substituindo
,
Substituindo
,
Ambas as verificações dão
, portanto os cálculos estão consistentes.
Passo 8
Comentário didático rápido (como lembrar/usar isso na prova).
- Para uma elipse com centro na origem e focos no eixo
, use sempre com . - Se der pontos, substitua e monte um sistema linear em
e ; isso costuma simplificar muito. - Se for necessário achar os focos, calcule
por
No nosso caso
, então os focos seriam
.