Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva, para as condições de cada caso:
Amplitude focal mínima 5 , vértices
e
;
Amplitude focal mínima 5 , vértices
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Cada elipse considerada tem centro na origem.
- Os vértices da elipse são
e . - A “amplitude focal mínima” é
.
O que precisa ser determinado: a equação da curva (da elipse) que satisfaça essas condições.
Passo 2
Entender o que significam os vértices dados.
- Quando os vértices são
e , isso indica que o eixo maior está sobre o eixo e que a semi‑maior ordem vale , porque os vértices estão em . - Portanto vamos anotar:
e, consequentemente, .
(Comentário amigo: pensar nos vértices como
é padrão para elipses centradas na origem com eixo maior no
.)
Passo 3
Interpretar o que o enunciado chama de “amplitude focal”.
- A expressão “amplitude focal” costuma referir‑se ao comprimento do segmento que une os dois focos, ou seja, ao comprimento entre os focos. Esse comprimento é
, onde é a distância do centro a cada foco (os focos ficam em ). - O enunciado diz "amplitude focal mínima
". Como não podemos pedir esclarecimentos, adotamos a interpretação natural: a amplitude focal (comprimento entre focos) é . Assim:
Passo 4
Lembrar e explicar a relação fundamental entre
,
e
numa elipse com eixo maior em
.
- Para a elipse centrada na origem com eixo maior no eixo
, a equação canônica é onde: -
é a semi‑maior (distância do centro a um vértice sobre o eixo maior), -
é a semi‑menor (distância do centro a um vértice sobre o eixo menor), -
é a distância do centro a cada foco.
-
- Essas grandezas satisfazem a relação
Explicação rápida: geometria da elipse mostra que os focos ficam dentro do eixo maior e o triângulo retângulo formado por dá essa relação (é útil memorizar).
Passo 5
Usar os valores conhecidos para calcular
.
- Substituir
e na relação : - Calcular o quadrado:
- Isolar
: - Fazer a subtração com denominador comum
:
(Comentário amigo:
é o valor exato; se preferir decimal, isso é
, mas para trabalhar em provas vale guardar a fração.)
Passo 6
Escrever a equação da elipse substituindo
e
.
- A forma canônica é
- Substituindo
e obtemos - Para apresentar de forma mais limpa, multiplicar a segunda fração por
dá - Se quiser uma forma com coeficientes inteiros, multiplica‑se ambos os lados por
ou apenas simplificar: multiplicando por e reduzindo obtém‑se a forma que é equivalente à forma canônica acima (mas frequentemente a forma com denominadores e é a mais direta).
Passo 7
Resumo final e verificação rápida (auto‑confiança!).
- Conferir rapidamente: os vértices
são compatíveis com . Os focos com estão dentro dos vértices (porque ). A relação foi satisfeita ao calcular . Tudo coerente.