Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição característica e tem centro na origem. Determinar a equação da curva, para as condições de cada caso:
Amplitude focal mínima 5 , vértices (-10,0) e (10,0);

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Cada elipse considerada tem centro na origem.
  • Os vértices da elipse são (-10,0) e (10,0).
  • A “amplitude focal mínima” é 5.
O que precisa ser determinado: a equação da curva (da elipse) que satisfaça essas condições.

Passo 2

Entender o que significam os vértices dados.
  • Quando os vértices são (-10,0) e (10,0), isso indica que o eixo maior está sobre o eixo x e que a semi‑maior ordem a vale 10, porque os vértices estão em (\pm a,0).
  • Portanto vamos anotar: a=10 e, consequentemente, a^2=100.
(Comentário amigo: pensar nos vértices como (\pm a,0) é padrão para elipses centradas na origem com eixo maior no x.)

Passo 3

Interpretar o que o enunciado chama de “amplitude focal”.
  • A expressão “amplitude focal” costuma referir‑se ao comprimento do segmento que une os dois focos, ou seja, ao comprimento entre os focos. Esse comprimento é 2c, onde c é a distância do centro a cada foco (os focos ficam em (\pm c,0)).
  • O enunciado diz "amplitude focal mínima 5". Como não podemos pedir esclarecimentos, adotamos a interpretação natural: a amplitude focal (comprimento entre focos) é 5. Assim: 2c = 5 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{5}{2}.

Passo 4

Lembrar e explicar a relação fundamental entre a, b e c numa elipse com eixo maior em x.
  • Para a elipse centrada na origem com eixo maior no eixo x, a equação canônica é \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,onde:
    • a>0 é a semi‑maior (distância do centro a um vértice sobre o eixo maior),
    • b>0 é a semi‑menor (distância do centro a um vértice sobre o eixo menor),
    • c>0 é a distância do centro a cada foco.
  • Essas grandezas satisfazem a relação c^{2}=a^{2}-b^{2}.Explicação rápida: geometria da elipse mostra que os focos ficam dentro do eixo maior e o triângulo retângulo formado por a,b,c dá essa relação (é útil memorizar).

Passo 5

Usar os valores conhecidos para calcular b^{2}.
  • Substituir a^{2}=100 e c=\dfrac{5}{2} na relação c^{2}=a^{2}-b^{2}: \left(\frac{5}{2}\right)^{2}=100-b^{2}.
  • Calcular o quadrado: \frac{25}{4}=100-b^{2}.
  • Isolar b^{2}: b^{2}=100-\frac{25}{4}.
  • Fazer a subtração com denominador comum 4: b^{2}=\frac{400}{4}-\frac{25}{4}=\frac{375}{4}.
(Comentário amigo: b^{2}=\dfrac{375}{4} é o valor exato; se preferir decimal, isso é 93{,}75, mas para trabalhar em provas vale guardar a fração.)

Passo 6

Escrever a equação da elipse substituindo a^{2} e b^{2}.
  • A forma canônica é \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Substituindo a^{2}=100 e b^{2}=\dfrac{375}{4} obtemos \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{\dfrac{375}{4}}=1.
  • Para apresentar de forma mais limpa, multiplicar a segunda fração por 4/4 \frac{x^{2}}{100}+\frac{4y^{2}}{375}=1.
  • Se quiser uma forma com coeficientes inteiros, multiplica‑se ambos os lados por 4\cdot 375/25 ou apenas simplificar: multiplicando por 100\cdot4 e reduzindo obtém‑se a forma 15x^{2}+16y^{2}=1500,que é equivalente à forma canônica acima (mas frequentemente a forma com denominadores a^{2} e b^{2} é a mais direta).

Passo 7

Resumo final e verificação rápida (auto‑confiança!).
  • Conferir rapidamente: os vértices (\pm 10,0) são compatíveis com a=10. Os focos (\pm c,0) com c=5/2 estão dentro dos vértices (porque 2{,}5<10). A relação c^{2}=a^{2}-b^{2} foi satisfeita ao calcular b^{2}=\dfrac{375}{4}. Tudo coerente.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{\tfrac{375}{4}}=1

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