Para cada uma das elipses dadas determinar:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
    \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{12}=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação da elipse
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{12}=1
e pede quatro coisas:
  • o comprimento do semi-eixo maior;
  • o comprimento do semi-eixo menor;
  • as coordenadas dos focos;
  • a excentricidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A elipse está centrada na origem (0,0) (não há termos lineares em x ou y nem translação).
  • Os denominadores sob x^{2} e y^{2} são 8 e 12, respectivamente.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão e identificar os semi-eixos.
A forma padrão de uma elipse centrada na origem e alinhada com os eixos é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a e b são os comprimentos dos semi-eixos (positivos). Importante: por convenção costuma-se chamar a o semi-eixo maior (o maior entre a e b). Portanto, primeiro identificamos os quadrados dos semi-eixos a partir dos denominadores.
Comparando com a equação dada,
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{12}=1,
temos os candidatos a^{2}=8 e b^{2}=12 se seguíssemos a ordem x,y. Mas o semi-eixo maior é o que tem o quadrado maior. Aqui 12>8, ou seja o maior denominador está sob y^{2}. Então devemos tomar
a^{2}=12,\qquad b^{2}=8,
de modo que a é o semi-eixo maior (associado ao eixo y) e b o semi-eixo menor (associado ao eixo x).
Calculemos a e b:
a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}, \qquad b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Explicação rápida (intuitiva): o denominador maior significa que a elipse “se estende” mais nessa direção; aqui o termo com 12 está com y^{2}, então a elipse é mais alongada verticalmente.

Passo 3

Calcular a distância focal c (a posição dos focos a partir do centro).
Para uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2},
onde c é a distância do centro até cada um dos focos. (Essa fórmula vem da definição geométrica da elipse: a soma das distâncias a dois pontos fixos — os focos — é constante e igual a 2a.)
Usando a^{2}=12 e b^{2}=8:
c^{2}=12-8=4 \quad\Rightarrow\quad c=2.

Passo 4

Determinar as coordenadas dos focos.
Como o semi-eixo maior está na direção do eixo y (vimos que a corresponde ao termo com y^{2}), os focos ficam sobre o eixo y, simetricamente em relação à origem. Logo as coordenadas são
(0,c)=(0,2)\quad\text{e}\quad(0,-c)=(0,-2).
Se o semi-eixo maior estivesse no eixo x, os focos seriam (\pm c,0); aqui são (0,\pm 2).

Passo 5

Calcular a excentricidade e e interpretar.
A excentricidade de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a},
com 0\le e<1. Ela mede o “achatamento”: quanto mais próximo de 1, mais alongada; quanto mais próximo de 0, mais próxima de um círculo.
Usando c=2 e a=2\sqrt{3}:
e=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0,577.

Passo 6

Resumo numérico e comentário final amigável.
  • Semi-eixo maior: a=2\sqrt{3}\approx3,464.
  • Semi-eixo menor: b=2\sqrt{2}\approx2,828.
  • Focos: (0,2) e (0,-2).
  • Excentricidade: e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx0,577.
Força aí — essa é a receita que cai na prova: identificar qual denominador é maior, extrair a e b, usar c^{2}=a^{2}-b^{2} e e=c/a. Pronto para aplicar em qualquer elipse alinhada com os eixos!

Resposta

a=2\sqrt{3}
b=2\sqrt{2}
Focos: (0,2) e (0,-2)
e=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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