Para cada uma das elipses dadas determinar:
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
Passo 1
O enunciado fornece a equação da elipse
e pede quatro coisas:
- o comprimento do semi-eixo maior;
- o comprimento do semi-eixo menor;
- as coordenadas dos focos;
- a excentricidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A elipse está centrada na origem
(não há termos lineares em ou nem translação). - Os denominadores sob
e são e , respectivamente.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão e identificar os semi-eixos.
A forma padrão de uma elipse centrada na origem e alinhada com os eixos é
onde
e
são os comprimentos dos semi-eixos (positivos). Importante: por convenção costuma-se chamar
o semi-eixo maior (o maior entre
e
). Portanto, primeiro identificamos os quadrados dos semi-eixos a partir dos denominadores.
Comparando com a equação dada,
temos os candidatos
e
se seguíssemos a ordem
. Mas o semi-eixo maior é o que tem o quadrado maior. Aqui
, ou seja o maior denominador está sob
. Então devemos tomar
de modo que
é o semi-eixo maior (associado ao eixo
) e
o semi-eixo menor (associado ao eixo
).
Calculemos
e
:
Explicação rápida (intuitiva): o denominador maior significa que a elipse “se estende” mais nessa direção; aqui o termo com
está com
, então a elipse é mais alongada verticalmente.
Passo 3
Calcular a distância focal
(a posição dos focos a partir do centro).
Para uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
vale a relação
onde
é a distância do centro até cada um dos focos. (Essa fórmula vem da definição geométrica da elipse: a soma das distâncias a dois pontos fixos — os focos — é constante e igual a
.)
Usando
e
:
Passo 4
Determinar as coordenadas dos focos.
Como o semi-eixo maior está na direção do eixo
(vimos que
corresponde ao termo com
), os focos ficam sobre o eixo
, simetricamente em relação à origem. Logo as coordenadas são
Se o semi-eixo maior estivesse no eixo
, os focos seriam
; aqui são
.
Passo 5
Calcular a excentricidade
e interpretar.
A excentricidade de uma elipse é definida por
com
. Ela mede o “achatamento”: quanto mais próximo de
, mais alongada; quanto mais próximo de
, mais próxima de um círculo.
Usando
e
:
Passo 6
Resumo numérico e comentário final amigável.
- Semi-eixo maior:
. - Semi-eixo menor:
. - Focos:
e . - Excentricidade:
.
Força aí — essa é a receita que cai na prova: identificar qual denominador é maior, extrair
e
, usar
e
. Pronto para aplicar em qualquer elipse alinhada com os eixos!
Resposta
Focos: