Pede: escrever a equação do plano que passa pelo ponto Q(2;-3;4) e que é perpendicular aos dois planos dados.
Dados:
Plano \pi_{1}: 5x+y-3z-3=0.
Plano \pi_{2}: 2x+y-z+1=0.
Ponto Q=(2,-3,4).
Passo 2
Entender o que significa “plano perpendicular a outro plano” (conceito importante):
Cada plano em 3D tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular a todo vetor contido no plano. Para um plano na forma
ax+by+cz+d=0,
o vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c).
Dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar igual a zero).
Aqui queremos um plano que seja perpendicular simultaneamente a \pi_{1} e a \pi_{2}. Logo, o vetor normal \mathbf{N} do plano buscado deve ser perpendicular tanto ao vetor normal de \pi_{1} quanto ao vetor normal de \pi_{2}.
Passo 3
Extrair os vetores normais dos planos dados (peguei estes vetores dos coeficientes na equação dos planos):
Para \pi_{1}: 5x+y-3z-3=0 o vetor normal é
\mathbf{n}_1=(5,1,-3).
Para \pi_{2}: 2x+y-z+1=0 o vetor normal é
\mathbf{n}_2=(2,1,-1).
Passo 4
Encontrar um vetor perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2:
Um vetor que seja perpendicular a dois vetores não paralelos é dado pelo produto vetorial (cross product) \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Lembrando a definição do produto vetorial para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3):