Escrever a equação do Plano que passa pelo ponto Q(2 ;-3 ; 4), perpendicularmente aos planos
\pi_{1}: 5 x+y-3 z-3=0 \quad \text { e } \quad \pi_{2}: 2 x+y-z+1=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: escrever a equação do plano que passa pelo ponto Q(2;-3;4) e que é perpendicular aos dois planos dados.
  • Dados:
    • Plano \pi_{1}: 5x+y-3z-3=0.
    • Plano \pi_{2}: 2x+y-z+1=0.
    • Ponto Q=(2,-3,4).

Passo 2

Entender o que significa “plano perpendicular a outro plano” (conceito importante):
  • Cada plano em 3D tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular a todo vetor contido no plano. Para um plano na forma
ax+by+cz+d=0,
o vetor normal é \mathbf{n}=(a,b,c).
  • Dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares (produto escalar igual a zero).
  • Aqui queremos um plano que seja perpendicular simultaneamente a \pi_{1} e a \pi_{2}. Logo, o vetor normal \mathbf{N} do plano buscado deve ser perpendicular tanto ao vetor normal de \pi_{1} quanto ao vetor normal de \pi_{2}.

Passo 3

Extrair os vetores normais dos planos dados (peguei estes vetores dos coeficientes na equação dos planos):
  • Para \pi_{1}: 5x+y-3z-3=0 o vetor normal é
\mathbf{n}_1=(5,1,-3).
  • Para \pi_{2}: 2x+y-z+1=0 o vetor normal é
\mathbf{n}_2=(2,1,-1).

Passo 4

Encontrar um vetor perpendicular a \mathbf{n}_1 e a \mathbf{n}_2:
  • Um vetor que seja perpendicular a dois vetores não paralelos é dado pelo produto vetorial (cross product) \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
  • Lembrando a definição do produto vetorial para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3):
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
ou seja, calcula-se os determinantes das componentes.]

Passo 5

Calcular explicitamente \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 5 & 1 & -3\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}.
Calcule cada componente (fazendo os menores):
  • Componente em \mathbf{i}:
(1)(-1)-(-3)(1) = -1 -(-3)=2.
  • Componente em \mathbf{j} (lembrar do sinal negativo ao aplicar a regra):
-(5\cdot(-1)-(-3)\cdot2) = -( -5 -(-6) ) = -( -5 +6 ) = -1.
  • Componente em \mathbf{k}:
5\cdot1 - 1\cdot2 = 5-2=3.
Portanto
\mathbf{N}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(2,-1,3).]

Passo 6

Interpretar o vetor obtido e montar a equação do plano:
  • \mathbf{N}=(2,-1,3) é um vetor normal ao plano procurado (peguei \mathbf{N} do produto vetorial calculado).
  • A forma ponto-normal da equação de um plano é
\mathbf{N}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é um ponto genérico do plano e \mathbf{r}_0 é um ponto conhecido do plano (aqui Q).
  • Substituindo \mathbf{N}=(2,-1,3) e \mathbf{r}_0=Q=(2,-3,4):
(2,-1,3)\cdot\big((x,y,z)-(2,-3,4)\big)=0.

Passo 7

Desenvolver o produto escalar e simplificar (mostrar passo a passo para você reproduzir na prova):
  • Primeiro calcule (x,y,z)-(2,-3,4)=(x-2,\;y+3,\;z-4).
  • Agora o produto escalar:
2(x-2) + (-1)(y+3) + 3(z-4)=0.
  • Expandindo:
2x-4 -y-3 +3z-12=0.
  • Agrupando termos:
2x - y + 3z -19 = 0.

Passo 8

Verificação rápida (para ter certeza — sempre uma boa prática):
  • Verificar que \mathbf{N} é perpendicular a \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 calculando os produtos escalares:
\mathbf{N}\cdot\mathbf{n}_1 = 2\cdot5 + (-1)\cdot1 + 3\cdot(-3) = 10 -1 -9 =0,
\mathbf{N}\cdot\mathbf{n}_2 = 2\cdot2 + (-1)\cdot1 + 3\cdot(-1) = 4 -1 -3 =0.
Ambos zero, então o plano é realmente perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}. Além disso, checando o ponto Q:
2\cdot2 -(-3) + 3\cdot4 -19 =4+3+12-19=0,
portanto Q está no plano.

Resposta

2x - y + 3z - 19 = 0

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