Em cada um dos itens abaixo, classifique a cônica, dê os elementos fundamentais relacionados a ela, como: vértices, centro, raio, focos, eixo maior, eixo menor, assíntotas, reta diretriz. E faça um esboço da cônica.
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede que eu:
- classifique a cônica;
- apresente os elementos fundamentais (vértice, centro, foco(s), eixo de simetria, eixo maior/eixo menor quando aplicáveis, assíntotas quando aplicáveis, reta diretriz, raio quando aplicável, etc.);
- faça um esboço (descrever como traçar a curva e pontos importantes).
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação explícita em coordenadas cartesianas é
.
Fim do que foi dado — a partir daqui vou manipular essa equação para extrair os elementos pedidos.
Passo 2
Colocar a equação na forma canônica conhecida para parábolas e identificar o parâmetro focal.
Primeiro, reescrevo a equação isolando
:
A forma canônica da parábola com eixo horizontal (vértice em
e abrindo para a direita quando
) é
Comparando com
(que é o caso com
e
), temos
Explicando o que é
: em
, o parâmetro
é a distância do vértice ao foco medida ao longo do eixo da parábola; também a distância do vértice à reta diretriz (em sentido oposto).
Passo 3
Determinar vértice, foco e diretriz (usando a forma canônica).
Para a forma
com
,
e
:
- Vértice:
. Ou seja, o vértice é . - Foco: localizado em
. Substituindo : Comentário didático: o foco fica “à frente” do vértice, na direção em que a parábola abre (aqui para ). - Diretriz: a reta vertical dada por
. Assim Explicando: a diretriz é uma reta que está à “trás” do vértice, à mesma distância que o foco, mas do lado oposto.
Passo 4
Eixo de simetria, orientação e tipo da cônica.
- Eixo de simetria: a parábola é simétrica em relação à reta horizontal que passa pelo vértice, ou seja,
(o eixo ). Em forma canônica dada, o eixo é a linha . - Orientação: como o termo linear em
é positivo na forma com , a parábola abre para a direita (sentido de ). - Classificação final: é uma parábola com vértice em
que abre para a direita.
Passo 5
Latus rectum (lado reto), comprimento e seus extremos — elemento importante que ajuda no esboço.
Definição e procedimento: para
, o latus rectum é o segmento perpendicular ao eixo que passa pelo foco; suas extremidades têm coordenadas
e o comprimento do latus rectum é
.
No nosso caso com
e
:
- Comprimento do latus rectum:
- Extremidades do latus rectum:
Esses pontos são úteis para desenhar a parábola com boa precisão.
Passo 6
Elementos que não se aplicam ou que são ausentes — explico por que.
- Centro: parábolas não têm centro (o conceito de centro é para cônicas centradas como elipse e hipérbole). Portanto: “não existe centro”.
- Eixo maior / eixo menor: termos usados para elipses/hipérboles; aqui não se aplicam.
- Assíntotas: parábolas não têm assíntotas (assíntotas são características de hipérboles).
- Raio: aplica-se a círculos; não se aplica aqui.
Resumo: além de vértice, foco, diretriz, eixo e latus rectum, os demais elementos clássicos de elipse/hipérbole/círculo não existem para esta parábola.
Passo 7
Como esboçar a parábola passo a passo (truques práticos para a prova — faça assim na hora):
- Marque o vértice
. - Trace a reta do eixo de simetria
(eixo ). - Marque o foco em
— isso fica bem perto do vértice (0,125 na escala do ). - Desenhe a diretriz vertical
(uma linha à esquerda do vértice). - Marque os extremos do latus rectum em
e . Ligue esses pontos suavemente passando pelo foco para formar o “pescoço” da parábola. - Complete a curva abrindo-a simetricamente para a direita, lembrando que à medida que
aumenta, cresce como . Por exemplo: para tem-se ; para tem-se . Use dois ou três pontos desse tipo para garantir a forma correta.
Dica prática: comoé pequeno ( ), o foco e o latus rectum ficam bem próximos do vértice; a parábola começa “estreita” e vai abrindo lentamente para a direita.
Passo 8
Resumo compacto dos fórmulas usadas (para você decorar e aplicar rápido na prova):
- Se a equação é
, então: - Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
. - Latus rectum: comprimento
; extremos .
- Vértice:
- Para a forma
(como no problema), pode-se escrever , comparar com e obter . No nosso caso dá .
Resposta
Classificação: parábola que abre para a direita.
Vértice: .
Foco: .
Diretriz: .
Eixo de simetria: .
Latus rectum: comprimento ; extremos em
e
.
Centro: não existe (parábola).
Assíntotas: não existem.
Raio / eixo maior / eixo menor: não se aplicam.
Esboço (descrição): vértice em , curva simétrica em relação a
abrindo para
, foco em
, diretriz vertical
; pontos adicionais para desenhar: por exemplo
,
para ajudar a formar a curva.
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo de simetria:
Latus rectum: comprimento
Centro: não existe (parábola).
Assíntotas: não existem.
Raio / eixo maior / eixo menor: não se aplicam.
Esboço (descrição): vértice em