Em cada um dos itens abaixo, classifique a cônica, dê os elementos fundamentais relacionados a ela, como: vértices, centro, raio, focos, eixo maior, eixo menor, assíntotas, reta diretriz. E faça um esboço da cônica.
x=2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
x=2y^{2}
e pede que eu:
  • classifique a cônica;
  • apresente os elementos fundamentais (vértice, centro, foco(s), eixo de simetria, eixo maior/eixo menor quando aplicáveis, assíntotas quando aplicáveis, reta diretriz, raio quando aplicável, etc.);
  • faça um esboço (descrever como traçar a curva e pontos importantes).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação explícita em coordenadas cartesianas é \;x=2y^{2}\;.
    Fim do que foi dado — a partir daqui vou manipular essa equação para extrair os elementos pedidos.

Passo 2

Colocar a equação na forma canônica conhecida para parábolas e identificar o parâmetro focal.
Primeiro, reescrevo a equação isolando x:
x=2y^{2}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\tfrac{1}{2}x.
A forma canônica da parábola com eixo horizontal (vértice em (h,k) e abrindo para a direita quando p>0) é
(y-k)^{2}=4p(x-h).
Comparando com \;y^{2}=\tfrac{1}{2}x\; (que é o caso com h=0 e k=0), temos
4p=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad p=\tfrac{1}{8}.
Explicando o que é p: em (y-k)^{2}=4p(x-h), o parâmetro p é a distância do vértice ao foco medida ao longo do eixo da parábola; também a distância do vértice à reta diretriz (em sentido oposto).

Passo 3

Determinar vértice, foco e diretriz (usando a forma canônica).
Para a forma (y-k)^{2}=4p(x-h) com h=0, k=0 e p=\tfrac{1}{8}:
  • Vértice: (h,k)=(0,0). Ou seja, o vértice é \,(0,0).
  • Foco: localizado em (h+p,k)=(p,0). Substituindo p: \text{Foco}=\left(\tfrac{1}{8},\,0\right).Comentário didático: o foco fica “à frente” do vértice, na direção em que a parábola abre (aqui para +\!x).
  • Diretriz: a reta vertical dada por x=h-p. Assim \text{Diretriz: }x=-\tfrac{1}{8}.Explicando: a diretriz é uma reta que está à “trás” do vértice, à mesma distância p que o foco, mas do lado oposto.

Passo 4

Eixo de simetria, orientação e tipo da cônica.
  • Eixo de simetria: a parábola é simétrica em relação à reta horizontal que passa pelo vértice, ou seja, y=0 (o eixo x). Em forma canônica dada, o eixo é a linha y=k.
  • Orientação: como o termo linear em x é positivo na forma \;y^{2}=4p x com p>0, a parábola abre para a direita (sentido de +\!x).
  • Classificação final: é uma parábola com vértice em (0,0) que abre para a direita.

Passo 5

Latus rectum (lado reto), comprimento e seus extremos — elemento importante que ajuda no esboço.
Definição e procedimento: para (y-k)^{2}=4p(x-h), o latus rectum é o segmento perpendicular ao eixo que passa pelo foco; suas extremidades têm coordenadas (h+p,\,k\pm 2p) e o comprimento do latus rectum é |4p|.
No nosso caso com p=\tfrac{1}{8} e h=k=0:
  • Comprimento do latus rectum: |4p|=4\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2}.
  • Extremidades do latus rectum: \left(\tfrac{1}{8},\,\pm 2p\right)=\left(\tfrac{1}{8},\,\pm \tfrac{1}{4}\right).
Esses pontos são úteis para desenhar a parábola com boa precisão.

Passo 6

Elementos que não se aplicam ou que são ausentes — explico por que.
  • Centro: parábolas não têm centro (o conceito de centro é para cônicas centradas como elipse e hipérbole). Portanto: “não existe centro”.
  • Eixo maior / eixo menor: termos usados para elipses/hipérboles; aqui não se aplicam.
  • Assíntotas: parábolas não têm assíntotas (assíntotas são características de hipérboles).
  • Raio: aplica-se a círculos; não se aplica aqui.
    Resumo: além de vértice, foco, diretriz, eixo e latus rectum, os demais elementos clássicos de elipse/hipérbole/círculo não existem para esta parábola.

Passo 7

Como esboçar a parábola passo a passo (truques práticos para a prova — faça assim na hora):
  1. Marque o vértice \,(0,0).
  2. Trace a reta do eixo de simetria y=0 (eixo x).
  3. Marque o foco em \left(\tfrac{1}{8},0\right) — isso fica bem perto do vértice (0,125 na escala do x).
  4. Desenhe a diretriz vertical x=-\tfrac{1}{8} (uma linha à esquerda do vértice).
  5. Marque os extremos do latus rectum em \left(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}\right) e \left(\tfrac{1}{8},-\tfrac{1}{4}\right). Ligue esses pontos suavemente passando pelo foco para formar o “pescoço” da parábola.
  6. Complete a curva abrindo-a simetricamente para a direita, lembrando que à medida que x aumenta, y cresce como \pm\sqrt{\tfrac{x}{2}}. Por exemplo: para x=2 tem-se y=\pm 1; para x=8 tem-se y=\pm2. Use dois ou três pontos desse tipo para garantir a forma correta.
    Dica prática: como p é pequeno ( \tfrac{1}{8}), o foco e o latus rectum ficam bem próximos do vértice; a parábola começa “estreita” e vai abrindo lentamente para a direita.

Passo 8

Resumo compacto dos fórmulas usadas (para você decorar e aplicar rápido na prova):
  • Se a equação é y^{2}=4p x, então:
    • Vértice: (0,0).
    • Foco: (p,0).
    • Diretriz: x=-p.
    • Latus rectum: comprimento =4p; extremos (p,\pm 2p).
  • Para a forma x=a y^{2} (como no problema), pode-se escrever y^{2}=\dfrac{1}{a}x, comparar com y^{2}=4p x e obter p=\dfrac{1}{4a}. No nosso caso a=2 p=\tfrac{1}{8}.

Resposta

Classificação: parábola que abre para a direita.
Vértice: (0,0).
Foco: \left(\tfrac{1}{8},0\right).
Diretriz: x=-\tfrac{1}{8}.
Eixo de simetria: y=0.
Latus rectum: comprimento =\tfrac{1}{2}; extremos em \left(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}\right) e \left(\tfrac{1}{8},-\tfrac{1}{4}\right).
Centro: não existe (parábola).
Assíntotas: não existem.
Raio / eixo maior / eixo menor: não se aplicam.
Esboço (descrição): vértice em (0,0), curva simétrica em relação a y=0 abrindo para +\!x, foco em \left(\tfrac{1}{8},0\right), diretriz vertical x=-\tfrac{1}{8}; pontos adicionais para desenhar: por exemplo (2,\pm1), (8,\pm2) para ajudar a formar a curva.

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