Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
\tau=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a permutação
\tau=\left(1\,2\,3\right)\left(1\,2\,4\,5\right)
e pede para escrevê‑la, quando possível, como produto de 3‑ciclos.
Informações relevantes: os elementos envolvidos são 1,2,3,4,5. Vou tomar a convenção padrão de composição de permutações: num produto \sigma\pi aplica‑se primeiro \pi e depois \sigma (ou seja, da direita para a esquerda).

Passo 2

Rápida revisão (passo a passo do que preciso usar):
  • Um ciclo \left(a\,b\,c\right) envia a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a; os elementos não listados ficam fixos.
  • Para compor \sigma\pi aplico \pi primeiro e depois \sigma a cada elemento. Ex.: (1\,2)(2\,3) aplicado ao 1 dá primeiro 1\overset{(2\,3)}{\mapsto}1 e depois 1\overset{(1\,2)}{\mapsto}2, logo o resultado envia 1\mapsto2.
  • Todo k‑ciclo com k\ge3 pode ser escrito como produto de 3‑ciclos pela fórmula
\left(a_1\,a_2\,\dots\,a_k\right)=\left(a_1\,a_2\,a_3\right)\left(a_1\,a_3\,a_4\right)\cdots\left(a_1\,a_{k-1}\,a_k\right),
ou seja, transforma‑se um k‑ciclo em k-2 3‑ciclos.
  • Importante sobre paridade: um 3‑ciclo equivale a duas transposições (por exemplo \left(a\,b\,c\right)=(a\,c)(a\,b)), logo é uma permutação par. Um produto de 3‑ciclos é sempre par. Assim, se uma permutação for ímpar (um número ímpar de transposições), ela NÃO pode ser escrita apenas como produto de 3‑ciclos.

Passo 3

Vou calcular \tau(x) para cada x\in\{1,2,3,4,5\}, lembrando que aplico primeiro \left(1\,2\,4\,5\right) e depois \left(1\,2\,3\right).
  • Para 1:
1\overset{(1\,2\,4\,5)}{\longmapsto}2,\qquad 2\overset{(1\,2\,3)}{\longmapsto}3,
logo \tau(1)=3.
  • Para 2:
2\overset{(1\,2\,4\,5)}{\longmapsto}4,\qquad 4\overset{(1\,2\,3)}{\longmapsto}4\\ (\text{fixo}),
logo \tau(2)=4.
  • Para 3:
3\overset{(1\,2\,4\,5)}{\longmapsto}3,\qquad 3\overset{(1\,2\,3)}{\longmapsto}1,
logo \tau(3)=1.
  • Para 4:
4\overset{(1\,2\,4\,5)}{\longmapsto}5,\qquad 5\overset{(1\,2\,3)}{\longmapsto}5\\ (\text{fixo}),
logo \tau(4)=5.
  • Para 5:
5\overset{(1\,2\,4\,5)}{\longmapsto}1,\qquad 1\overset{(1\,2\,3)}{\longmapsto}2,
logo \tau(5)=2.

Passo 4

Agrupando as imagens obtidas em ciclos disjuntos:
  • 1\mapsto3 e 3\mapsto1 dão o ciclo \left(1\,3\right).
  • 2\mapsto4, 4\mapsto5, 5\mapsto2 dão o ciclo \left(2\,4\,5\right).
Portanto, em forma de ciclos disjuntos
\tau=\left(1\,3\right)\left(2\,4\,5\right).

Passo 5

Agora verificar se \tau pode ser escrito apenas como produto de 3‑ciclos.
  • \left(2\,4\,5\right) já é um 3‑ciclo, então não precisa decomposição.
  • \left(1\,3\right) é uma transposição (um 2‑ciclo). Uma transposição é uma permutação ímpar; como explicado antes, todo 3‑ciclo é par. Logo qualquer produto formado só por 3‑ciclos é uma permutação par.
  • \tau é produto de uma transposição (ímpar) e de um 3‑ciclo (par); o produto de par com ímpar é ímpar. Portanto \tau é uma permutação ímpar.
Conclusão: por ser ímpar, \tau não pode ser expressa apenas como produto de 3‑ciclos. A melhor forma que temos é a decomposição em ciclos disjuntos encontrada acima.

Resposta

\tau=\left(1\,3\right)\left(2\,4\,5\right). Não é possível expressar \tau apenas como produto de 3‑ciclos, pois \tau é uma permutação ímpar.

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