Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a permutação
e pede para escrevê‑la, quando possível, como produto de 3‑ciclos.
Informações relevantes: os elementos envolvidos são . Vou tomar a convenção padrão de composição de permutações: num produto
aplica‑se primeiro
e depois
(ou seja, da direita para a esquerda).
e pede para escrevê‑la, quando possível, como produto de 3‑ciclos.
Informações relevantes: os elementos envolvidos são
Passo 2
Rápida revisão (passo a passo do que preciso usar):
- Um ciclo
envia , , ; os elementos não listados ficam fixos. - Para compor
aplico primeiro e depois a cada elemento. Ex.: aplicado ao dá primeiro e depois , logo o resultado envia . - Todo k‑ciclo com
pode ser escrito como produto de 3‑ciclos pela fórmula
ou seja, transforma‑se um k‑ciclo em
3‑ciclos.
- Importante sobre paridade: um 3‑ciclo equivale a duas transposições (por exemplo
), logo é uma permutação par. Um produto de 3‑ciclos é sempre par. Assim, se uma permutação for ímpar (um número ímpar de transposições), ela NÃO pode ser escrita apenas como produto de 3‑ciclos.
Passo 3
Vou calcular
para cada
, lembrando que aplico primeiro
e depois
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
Passo 4
Agrupando as imagens obtidas em ciclos disjuntos:
-
e dão o ciclo . -
, , dão o ciclo .
Portanto, em forma de ciclos disjuntos
Passo 5
Agora verificar se
pode ser escrito apenas como produto de 3‑ciclos.
-
já é um 3‑ciclo, então não precisa decomposição. -
é uma transposição (um 2‑ciclo). Uma transposição é uma permutação ímpar; como explicado antes, todo 3‑ciclo é par. Logo qualquer produto formado só por 3‑ciclos é uma permutação par. -
é produto de uma transposição (ímpar) e de um 3‑ciclo (par); o produto de par com ímpar é ímpar. Portanto é uma permutação ímpar.
Conclusão: por ser ímpar,
não pode ser expressa apenas como produto de 3‑ciclos. A melhor forma que temos é a decomposição em ciclos disjuntos encontrada acima.