Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
\beta=\left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 4 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a permutação \beta escrita como um ciclo:
\beta=\left(1\;3\;4\;5\right).
O pedido é: escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos. Aqui há apenas uma permutação a transformar: \beta.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar uma propriedade importante que vai decidir se a escrita em 3-ciclos é possível ou não.
Definição rápida (paridade): uma transposição (um 2-ciclo) é uma permutação que troca dois elementos e deixa os demais fixos. Qualquer permutação pode ser escrita como produto de transposições; se ela se escreve como produto de um número par de transposições diz-se que é uma permutação par; se for produto de um número ímpar de transposições, diz-se ímpar.
Fato útil: um 3-ciclo é uma permutação par. De fato,
(a\;b\;c) = (a\;c)(a\;b),
ou seja, um 3-ciclo se escreve como produto de duas transposições (duas é um número par), logo todo 3-ciclo é par.
Observação imediata: produto de permutações pares é par; portanto qualquer produto de 3-ciclos é sempre uma permutação par. Assim, só poderemos expressar uma permutação como produto de 3-ciclos se essa permutação for par.

Passo 3

Agora vamos calcular a paridade de \beta=\left(1\;3\;4\;5\right). Uma maneira direta é decompor o 4-ciclo em transposições. Uma fórmula padrão é
(a_1\;a_2\;a_3\;a_4) = (a_1\;a_4)(a_1\;a_3)(a_1\;a_2).
Aplicando com a_1=1,\\ a_2=3,\\ a_3=4,\\ a_4=5, obtemos
\beta=(1\;3\;4\;5)=(1\;5)(1\;4)(1\;3).

Passo 4

Contagem de transposições na decomposição: a expressão acima usa 3 transposições. Como 3 é ímpar, concluímos que \beta é uma permutação ímpar.

Passo 5

Relacione isso com o fato do Passo 2: todo 3-ciclo é par, logo qualquer produto de 3-ciclos é par. Como \beta é ímpar, não é possível escrever \beta como produto de 3-ciclos — tal escrita exigiria que uma permutação ímpar fosse igual a uma permutação par, o que é impossível.

Passo 6

Resumo e observação final: a razão fundamental é a paridade. Se a permutação dada fosse par, poderíamos então produzir uma decomposição em 3-ciclos (usando a identidade padrão que expressa ciclos longos por 3-ciclos). Mas como \beta é ímpar, não existe expressão de \beta como produto de 3-ciclos.

Resposta

Não é possível escrever \beta como produto de 3-ciclos, pois \beta=(1\;3\;4\;5) é permutação ímpar (decompõe-se em três transposições) enquanto todo 3-ciclo é permutação par.

Exercícios relacionados