Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
.
Passo 1
O enunciado fornece a permutação
escrita como um ciclo:
O pedido é: escrever, quando possível, cada permutação como produto de
-ciclos. Aqui há apenas uma permutação a transformar:
.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar uma propriedade importante que vai decidir se a escrita em
-ciclos é possível ou não.
Definição rápida (paridade): uma transposição (um
-ciclo) é uma permutação que troca dois elementos e deixa os demais fixos. Qualquer permutação pode ser escrita como produto de transposições; se ela se escreve como produto de um número par de transposições diz-se que é uma permutação par; se for produto de um número ímpar de transposições, diz-se ímpar.
Fato útil: um
-ciclo é uma permutação par. De fato,
ou seja, um
-ciclo se escreve como produto de duas transposições (duas é um número par), logo todo
-ciclo é par.
Observação imediata: produto de permutações pares é par; portanto qualquer produto de
-ciclos é sempre uma permutação par. Assim, só poderemos expressar uma permutação como produto de
-ciclos se essa permutação for par.
Passo 3
Agora vamos calcular a paridade de
. Uma maneira direta é decompor o
-ciclo em transposições. Uma fórmula padrão é
Aplicando com
, obtemos
Passo 4
Contagem de transposições na decomposição: a expressão acima usa
transposições. Como
é ímpar, concluímos que
é uma permutação ímpar.
Passo 5
Relacione isso com o fato do Passo 2: todo
-ciclo é par, logo qualquer produto de
-ciclos é par. Como
é ímpar, não é possível escrever
como produto de
-ciclos — tal escrita exigiria que uma permutação ímpar fosse igual a uma permutação par, o que é impossível.
Passo 6
Resumo e observação final: a razão fundamental é a paridade. Se a permutação dada fosse par, poderíamos então produzir uma decomposição em
-ciclos (usando a identidade padrão que expressa ciclos longos por
-ciclos). Mas como
é ímpar, não existe expressão de
como produto de
-ciclos.
Resposta
Não é possível escrever
como produto de
-ciclos, pois
é permutação ímpar (decompõe-se em três transposições) enquanto todo
-ciclo é permutação par.