Escrever um programa no MatLab com o objetivo de calcular aproximações de uma função f(x, y), usando o polinômio de Taylor para f(x, y) na origem.
O valor de x e y e o número de termos do polinômio de Taylor, n, são dados de entrada.
Analisar os resultados obtidos pelos
Erro absoluto
Erro relativo
Fazer reflexões
A partir de qual n o erro é tão pequeno que não compensa aumentar seu valor?
O projeto deve ser feito em grupo de no máximo 5 alunos, cada função só pode ser implementada por um grupo.
Data da entrega até dia 21/08/2025 até às 18:00, pelo drive:
https://drive.google.com/drive/folders/lrBwu02ViFBbwi7BIEeD2iNoHhPwt107C?usp=sharing
Funções: f(x, y)=y \sin (x)
Passo 1
O enunciado pede um programa em MATLAB que, dado um ponto (x,y) e um grau n, compute a aproximação de
f(x,y)=y\sin(x)
por seu polinômio de Taylor centrado na origem, além de calcular erro absoluto e erro relativo e analisar em que n o erro deixa de diminuir de forma significativa.
Passo 2
Para gerar o polinômio de Taylor de ordem n de f(x,y) em torno de (0,0), precisamos das derivadas parciais de todas as ordens até n. Note que \displaystyle f(x,y)=y\sin(x)
é linear em y, então a expansão será
Faça um loop variando n de, por exemplo, 0 a um valor máximo (p. ex. 20) e armazene em vetores os erros absoluto e relativo para cada n. Plote
E_{\text{abs}} versus n
E_{\text{rel}} versus n
e examine em que valor de n ocorre estabilidade no erro (ou seja, ele para de diminuir de forma significativa).
Passo 5
Analise os gráficos: normalmente o erro decresce exponencialmente até chegar à ordem da precisão da máquina (≈10^{-16}). A partir desse n, incluir termos extras só aumenta custo computacional sem reduzir erro.
Resposta
Não é possível indicar um valor único de n sem fixar um ponto (x,y), pois o comportamento do erro depende de (x,y). Em geral, para |x| moderado (por exemplo |x|\le1), o erro converge muito rápido e já estabiliza em torno de n\approx10 a 12, atingindo a precisão da máquina.