Uma esfera de 30 mm de diâmetro cuja superficie é difusa e cinza com uma emissividade de 0,8 é posta em um forno de grandes dimensões em que as paredes se encontram à temperatura uniforme de 600 K . A temperatura do ar no forno é de 400 K , e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o ar no forno é de
.
a) Determine a transferência de calor liquida para a esfera quando sua temperatura é de 300 K ;
b) Qual será a temperatura em regime permanente da esfera?
a) Determine a transferência de calor liquida para a esfera quando sua temperatura é de 300 K ;
b) Qual será a temperatura em regime permanente da esfera?
Passo 1
Enunciado resumido — o que é pedido e os dados fornecidos:
-
Dados (retirei tudo do enunciado):
- Diâmetro da esfera:
. - Emissividade da superfície da esfera:
. - Temperatura das paredes do forno (superfície circundante, uniforme):
. - Temperatura do ar no forno:
. - Coeficiente de convecção entre esfera e ar:
.
- Diâmetro da esfera:
-
Perguntas:
(a) Determine a transferência de calor líquida para a esfera quando a temperatura da esfera é.
(b) Determine a temperatura em regime permanente (temperatura de equilíbrio térmico) da esfera.
Observações úteis que vou usar na resolução: o forno é grande, ou seja, a esfera “vê” basicamente as paredes à temperatura
(fator de forma
para troca radiante com o invólucro grande). Não inventei nada além do enunciado.
Passo 2
Fórmulas físicas que vamos usar (explicadas didaticamente):
- Área da esfera: a superfície de uma esfera de raio
é
onde
é em metros e
em
.
- Troca convectiva (Lei de Newton do resfriamento/aquecimento):
Aqui
é potência (W),
é o coeficiente convectivo
,
e
são temperaturas em K. O sinal positivo significa calor entrando na esfera quando
.
- Troca radiante com grande envoltório à temperatura uniforme (pequeno corpo em recinto grande, fator de vista
):
Aqui
é a constante de Stefan–Boltzmann,
. O termo
representa o balanço entre potência radiante recebida das paredes e que é emitida pela esfera. Se
, esse termo é positivo (radiação aquece a esfera).
- Transferência de calor líquida para a esfera é a soma (conv. + rad.):
No regime permanente (equilíbrio térmico) a soma das potências é zero:
Isso gera uma equação para
que temos que resolver numericamente (é uma equação com
).
Passo 3
Cálculo da área da esfera (passo-a-passo):
- Diâmetro
⇒ raio . - Aplicando
:
Vou arredondar onde fizer sentido; guardarei precisão intermediária. Assim:
Passo 4
Parte (a) — cálculo do termo radiante
quando
:
- Primeiro calcule
:
- Agora compute
:
- Finalmente
:
Interpretação: radiação das paredes aquece a esfera com cerca de
quando
.
Passo 5
Parte (a) — cálculo do termo convectivo
quando
:
- Use
:
Interpretação: o ar a
fornece por convecção cerca de
para a esfera quando ela está a
.
Passo 6
Parte (a) — soma para obter a transferência líquida:
Arredondando com três algarismos significativos:
Interpretação: valor positivo significa que, com a esfera a
, a esfera recebe aproximadamente
de calor (radiação das paredes + convecção do ar).
Passo 7
Parte (b) — temperatura em regime permanente (resolução numérica):
- Equação de equilíbrio (soma de radiação e convecção = 0):
Como
, basta resolver
Rearranjando:
- Substituindo valores numéricos:
-
Essa é uma equação em
com termo ; não tem solução analítica simples, então faço um método numérico simples (bissecção / tentativas). Vou mostrar os pontos testados: - Teste
:
(aqui escrevi, reduzida da equação; sinal negativo significa que precisamos de maior.) - Teste
:
(então a raiz está entree .) -
Testes intermediários por bissecção/tentativa:
→ ; → . Assim a raiz está entre e . -
Refinando mais, encontro a raiz aproximada
. (Fiz as contas do termo e das somas conforme mostrado nos passos anteriores; o erro residual é pequeno — algumas décimas de Kelvin.)
- Teste
Passo 8
Interpretação física e checagem rápida:
- A temperatura de equilíbrio
está entre e , como esperado: a radiação das paredes (mais quente) tende a aquecer a esfera, enquanto a convecção com o ar (mais frio que as paredes) tende a resfriá-la; o equilíbrio ocorre quando essas trocas se igualam, numa temperatura acima da do ar e abaixo da das paredes.