Uma esfera de 30 mm de diâmetro cuja superficie é difusa e cinza com uma emissividade de 0,8 é posta em um forno de grandes dimensões em que as paredes se encontram à temperatura uniforme de 600 K . A temperatura do ar no forno é de 400 K , e o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o ar no forno é de 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}.
a) Determine a transferência de calor liquida para a esfera quando sua temperatura é de 300 K ;
b) Qual será a temperatura em regime permanente da esfera?

Passo 1

Enunciado resumido — o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Dados (retirei tudo do enunciado):
    • Diâmetro da esfera: 30\\ \mathrm{mm}.
    • Emissividade da superfície da esfera: \epsilon=0,8.
    • Temperatura das paredes do forno (superfície circundante, uniforme): T_w=600\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura do ar no forno: T_\text{ar}=400\\ \mathrm{K}.
    • Coeficiente de convecção entre esfera e ar: h=15\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Perguntas:
    (a) Determine a transferência de calor líquida para a esfera quando a temperatura da esfera é T_s=300\\ \mathrm{K}.
    (b) Determine a temperatura em regime permanente (temperatura de equilíbrio térmico) da esfera.
Observações úteis que vou usar na resolução: o forno é grande, ou seja, a esfera “vê” basicamente as paredes à temperatura T_w (fator de forma F=1 para troca radiante com o invólucro grande). Não inventei nada além do enunciado.

Passo 2

Fórmulas físicas que vamos usar (explicadas didaticamente):
  • Área da esfera: a superfície de uma esfera de raio r é
A = 4\pi r^2,
onde r é em metros e A em \mathrm{m}^2.
  • Troca convectiva (Lei de Newton do resfriamento/aquecimento):
Q_\text{conv} = A\,h\,(T_\text{ar}-T_s).
Aqui Q_\text{conv} é potência (W), h é o coeficiente convectivo \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}, T_\text{ar} e T_s são temperaturas em K. O sinal positivo significa calor entrando na esfera quando T_\text{ar}>T_s.
  • Troca radiante com grande envoltório à temperatura uniforme (pequeno corpo em recinto grande, fator de vista =1):
Q_\text{rad} = A\,\epsilon\,\sigma\,(T_w^4 - T_s^4).
Aqui \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma = 5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}. O termo T_w^4-T_s^4 representa o balanço entre potência radiante recebida das paredes e que é emitida pela esfera. Se T_w>T_s, esse termo é positivo (radiação aquece a esfera).
  • Transferência de calor líquida para a esfera é a soma (conv. + rad.):
Q_\text{líquida} = Q_\text{rad} + Q_\text{conv}.í
No regime permanente (equilíbrio térmico) a soma das potências é zero:
Q_\text{rad} + Q_\text{conv} = 0.
Isso gera uma equação para T_s que temos que resolver numericamente (é uma equação com T_s^4).

Passo 3

Cálculo da área da esfera (passo-a-passo):
  • Diâmetro =30\\ \mathrm{mm}=0,030\\ \mathrm{m} ⇒ raio r=0,015\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando A=4\pi r^2:
A = 4\pi(0,015)^2 = 4\pi(0,000225) = 0,002827433\\ \mathrm{m}^2.
Vou arredondar onde fizer sentido; guardarei precisão intermediária. Assim:
A \approx 0,0028274\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Parte (a) — cálculo do termo radiante Q_\text{rad} quando T_s=300\\ \mathrm{K}:
  • Primeiro calcule T_w^4-T_s^4:
600^4 = 1{,}296\times10^{11},\qquad 300^4 = 8{,}10\times10^{9},
T_w^4-T_s^4 = 1{,}296\times10^{11} - 8{,}10\times10^{9} = 1{,}215\times10^{11}.
  • Agora compute \epsilon\sigma (T_w^4-T_s^4):
\epsilon\sigma = 0,8\cdot 5{,}670374419\times10^{-8} = 4{,}536299535\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
\epsilon\sigma (T_w^4-T_s^4)=4{,}536299535\times10^{-8}\cdot 1{,}215\times10^{11}\approx 5{,}511{,}6\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Finalmente Q_\text{rad}=A\cdot\big(\epsilon\sigma (T_w^4-T_s^4)\big):
Q_\text{rad} \approx 0,002827433\cdot 5{,}511{,}6 \approx 15{,}58\\ \mathrm{W}.
Interpretação: radiação das paredes aquece a esfera com cerca de 15{,}6\\ \mathrm{W} quando T_s=300\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Parte (a) — cálculo do termo convectivo Q_\text{conv} quando T_s=300\\ \mathrm{K}:
  • Use Q_\text{conv}=A\,h\,(T_\text{ar}-T_s):
Q_\text{conv} = 0,002827433\cdot 15\cdot(400-300) = 0,002827433\cdot 15\cdot 100.
Q_\text{conv} = 0,002827433\cdot 1500 \approx 4{,}24115\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o ar a 400\\ \mathrm{K} fornece por convecção cerca de 4{,}24\\ \mathrm{W} para a esfera quando ela está a 300\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Parte (a) — soma para obter a transferência líquida:
Q_\text{líquida} = Q_\text{rad} + Q_\text{conv} \approx 15{,}58 + 4{,}24115 = 19{,}82115\\ \mathrm{W}.í
Arredondando com três algarismos significativos:
Q_\text{líquida} \approx 19{,}8\\ \mathrm{W}.í
Interpretação: valor positivo significa que, com a esfera a 300\\ \mathrm{K}, a esfera recebe aproximadamente 19{,}8\\ \mathrm{W} de calor (radiação das paredes + convecção do ar).

Passo 7

Parte (b) — temperatura em regime permanente (resolução numérica):
  • Equação de equilíbrio (soma de radiação e convecção = 0):
A\Big[\epsilon\sigma\big(T_w^4 - T_s^4\big) + h\big(T_\text{ar} - T_s\big)\Big] = 0.
Como A>0, basta resolver
\epsilon\sigma\big(T_w^4 - T_s^4\big) + h\big(T_\text{ar} - T_s\big) = 0.
Rearranjando:
\epsilon\sigma\big(T_w^4 - T_s^4\big) = h\big(T_s - T_\text{ar}\big).
  • Substituindo valores numéricos:
4{,}536299535\times10^{-8}\,(600^4 - T_s^4) = 15\,(T_s-400).
  • Essa é uma equação em T_s com termo T_s^4; não tem solução analítica simples, então faço um método numérico simples (bissecção / tentativas). Vou mostrar os pontos testados:
    • Teste T_s=500\\ \mathrm{K}:
    f(500)=4{,}5363\times10^{-8}\cdot500^4 +15\cdot500 -11878{,}3 \approx -1543\\ (\text{valor negativo}).
    (aqui escrevi f(T_s)=4{,}5363\times10^{-8}T_s^4 +15T_s -11878{,}3, reduzida da equação; sinal negativo significa que precisamos de T_s maior.)
    • Teste T_s=550\\ \mathrm{K}:
    f(550)\approx +523\\ (\text{positivo}).
    (então a raiz está entre 500 e 550\\ \mathrm{K}.)
    • Testes intermediários por bissecção/tentativa: T_s=537\\ \mathrm{K} f\approx -51; T_s=539\\ \mathrm{K} f\approx +32. Assim a raiz está entre 538 e 539.
    • Refinando mais, encontro a raiz aproximada T_s\approx 538{,}2\\ \mathrm{K}. (Fiz as contas do termo T_s^4 e das somas conforme mostrado nos passos anteriores; o erro residual é pequeno — algumas décimas de Kelvin.)

Passo 8

Interpretação física e checagem rápida:
  • A temperatura de equilíbrio T_s\approx 538{,}2\\ \mathrm{K} está entre T_\text{ar}=400\\ \mathrm{K} e T_w=600\\ \mathrm{K}, como esperado: a radiação das paredes (mais quente) tende a aquecer a esfera, enquanto a convecção com o ar (mais frio que as paredes) tende a resfriá-la; o equilíbrio ocorre quando essas trocas se igualam, numa temperatura acima da do ar e abaixo da das paredes.

Resposta

Q_\text{líquida}\approx 19{,}8\\ \mathrm{W}í
T_{s,\text{regime}}\approx 538{,}2\\ \mathrm{K}

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