13- Uma engenheira está projetando um sistema de aquecimento que consistirá de vários tubos colocados em um duto que carrega o fornecimento de ar para um edifício. Ela decide executar testes preliminares com um único tubo de cobre com diâmetro externo de 2 cm transportando vapor condensado a 100^{\circ} \mathrm{C}. A velocidade do ar no duto
é de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e sua temperatura é 20^{\circ} \mathrm{C}. Se o comprimento do tubo é de 1 m , calcule a taxa de transferência de calor desde a sua superfície para o ar no entorno.
Buscar propriedades nas tabelas de dados termofísicos. Como exercício, avaliem mais de uma correlação para os cálculos.
Resp.:
Usando correlação de Hilpert: q=243,7 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a taxa de transferência de calor da superfície de um tubo de cobre exposto a escoamento de ar. Pedidos e dados fornecidos:
  • Pergunta: qual é a taxa de transferência de calor desde a superfície do tubo para o ar (potência q)?
  • Dados fornecidos: \begin{aligned} &\text{diâmetro externo do tubo: } D=0{,}02\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento do tubo: } L=1{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura da superfície (vapor condensado): } T_s=100^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura do ar livre: } T_\infty=20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{velocidade do ar: } U_\infty=5{,}0\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}âí
  • Quantidades que vamos precisar (a partir das propriedades do ar à temperatura de filme): condutividade térmica k, viscosidade cinemática \nu, número de Prandtl \mathrm{Pr}. Esses valores serão tomados em função da temperatura de filme \,T_f=(T_s+T_\infty)/2.
  • Área superficial para convecção (área lateral do cilindro): A=\pi D L.
    Observação: a figura ou tabela de propriedades não foi anexada; utilizei valores típicos de tabelas de propriedades do ar à temperatura de filme T_f (vou informar os valores usados no passo seguinte).

Passo 2

Escolha da temperatura de referência e propriedades do ar (dados extraídos de tabelas de propriedades do ar a T_f):
  • Temperatura de filme: T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{100^\circ\mathrm{C}+20^\circ\mathrm{C}}{2}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Propriedades do ar em T_f=60^\circ\mathrm{C} (valores típicos de tabelas termofísicas, usados aqui para o cálculo): \begin{aligned} &k=0{,}0282\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\quad\text{(condutividade)},\\\ &\nu=1{,}95\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}\quad\text{(viscosidade cinemática)},\\\ &\mathrm{Pr}=0{,}71\quad\text{(número de Prandtl, adimensional).} \end{aligned}áú
  • Geometria e diferença de temperatura: A=\pi D L=\pi\cdot 0{,}02\cdot 1{,}0=0{,}062832\\ \mathrm{m^2}, \qquad \Delta T = T_s-T_\infty = 80\\ \mathrm{K}.
Comentário didático rápido: a temperatura de filme T_f é usada para avaliar propriedades do fluido porque a camada térmica próxima à superfície tem temperatura entre T_s e T_\infty; tomar a média é uma aproximação clássica e suficientemente boa para estas correlações empíricas.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds e interpretação:
  • Definição: o número de Reynolds para fluxo externo sobre cilindro é \mathrm{Re}=\frac{U_\infty D}{\nu},onde \,U_\infty é a velocidade livre, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática. O \mathrm{Re} indica se o escoamento é laminar ou turbulento e determina a faixa de validade das correlações empíricas.
  • Cálculo numérico: \mathrm{Re}=\frac{5{,}0\cdot 0{,}02}{1{,}95\times 10^{-5}}=\frac{0{,}1}{1{,}95\times 10^{-5}} \approx 5{,}13\times 10^{3}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\approx 5{,}1\times 10^{3} (regime de escoamento externo sobre cilindro em que aparecem desprendimentos de vórtices; correlações empíricas como Hilpert e Churchill–Bernstein são aplicáveis).

Passo 4

Conceitos usados para a troca de calor convectiva e definição das quantidades a obter:
  • Queremos q pela convecção: lei de resfriamento de Newton q = h\,A\,\Delta T,onde h é o coeficiente convectivo médio na superfície do cilindro. Para obter h usamos o número de Nusselt: \mathrm{Nu}_D=\frac{hD}{k}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}.
  • Assim o problema reduz-se a obter \mathrm{Nu}_D para fluxo transversal sobre cilindro por correlações empíricas.

Passo 5

Correlação 1 — Hilpert (forma empírica clássica):
  • Fórmula (forma usada): \mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}^m\,\mathrm{Pr}^{1/3},onde C e m são constantes empíricas que dependem da faixa de \mathrm{Re}. Para a faixa de ordem de 10^2 a 10^4 é comum usar C=0{,}193 e m=0{,}618 (valores de tabelas clássicas de Hilpert/Zukauskas — aqui os adotamos porque fornecem boa aproximação para o intervalo do nosso \mathrm{Re}).
  • Cálculo passo a passo: \begin{aligned} &\mathrm{Re}=5{,}13\times 10^{3},\qquad \mathrm{Pr}=0{,}71,\\[4pt] &\mathrm{Pr}^{1/3}=0{,}71^{1/3}\approx 0{,}89,\\[4pt] &\mathrm{Re}^m=(5{,}13\times 10^{3})^{0{,}618}\approx 1{,}966\times 10^{2},\\[4pt] &\mathrm{Nu}_D = 0{,}193\times 1{,}966\times 10^{2}\times 0{,}89 \approx 33{,}82. \end{aligned}
  • Obtenção de h e q: \begin{aligned} &h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}=\frac{33{,}82\cdot 0{,}0282}{0{,}02}\approx 47{,}7\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\\[4pt] &q = h\,A\,\Delta T = 47{,}7\cdot 0{,}062832\cdot 80 \approx 239{,}8\\ \mathrm{W}. \end{aligned}
Breve explicação didática: a correlação de Hilpert é simples e prática — multiplica potências de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}. A escolha de C e m deve respeitar a faixa de \mathrm{Re}; aqui usamos valores apropriados para a ordem de 10^3.]

Passo 6

Correlação 2 — Churchill–Bernstein (correlação única e mais geral para cilindro em escoamento transversal):
  • Fórmula (muito usada porque cobre amplas faixas de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}): \mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,\mathrm{Re}^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}{\left[1+\left(0{,}4/\mathrm{Pr}\right)^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\frac{\mathrm{Re}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.Esta expressão monta uma parte de “grandezas intermédias” e corrige para efeitos de transição/turbulência; é geralmente mais confiável quando se deseja uma estimativa única sem tabelas por faixa de \mathrm{Re}.
  • Cálculo passo a passo (usando os mesmos valores de propriedades): \begin{aligned} &\mathrm{Re}^{1/2}=(5{,}13\times 10^3)^{1/2}\approx 71{,}6,\\[4pt] &\mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}89,\\[4pt] &\text{denom}_1=\left[1+\left(\frac{0{,}4}{\mathrm{Pr}}\right)^{2/3}\right]^{1/4} =\left[1+(0{,}4/0{,}71)^{2/3}\right]^{1/4}\approx 1{,}14,\\[4pt] &\text{fator}_2=\left[1+\left(\frac{\mathrm{Re}}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5} \approx \left[1+(5{,}13\times 10^3/2{,}82\times 10^5)^{5/8}\right]^{4/5}\approx 1{,}065,\\[4pt] &\mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\cdot 71{,}6\cdot 0{,}89}{1{,}14}\cdot 1{,}065 \approx 37{,}2. \end{aligned}
  • Obtenção de h e q: \begin{aligned} &h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}=\frac{37{,}2\cdot 0{,}0282}{0{,}02}\approx 52{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\\[4pt] &q = h\,A\,\Delta T = 52{,}5\cdot 0{,}062832\cdot 80 \approx 263{,}9\\ \mathrm{W}. \end{aligned}
Comentário didático: a correlação de Churchill–Bernstein frequentemente dá valores maiores que correlações mais antigas em certas faixas, porque inclui termos que modelam melhor efeitos de transição no escoamento.]

Passo 7

Comparação, interpretação e indicação prática para prova:
  • Resultados calculados (usando propriedades do ar a T_f=60^\circ\mathrm{C}): \begin{aligned} &\text{Hilpert (com }C=0{,}193,\\ m=0{,}618\text{):}\quad q \approx 239{,}8\\ \mathrm{W},\\[4pt] &\text{Churchill--Bernstein:}\quad q \approx 263{,}9\\ \mathrm{W}. \end{aligned}
  • Observações importantes para a hora da prova:
    • Escolha da correlação: se o enunciado não indica qual usar, justifique a escolha indicando a faixa de \mathrm{Re} e se a correlação é válida ali. A Churchill–Bernstein é robusta e indicada quando se quer uma única expressão válida em ampla faixa de \mathrm{Re} e \mathrm{Pr}.
    • Sempre calcule a temperatura de filme T_f e use as propriedades do fluido avaliadas nela.
    • Calcule \mathrm{Re} e \mathrm{Pr} primeiro; isso indica qual correlação da tabela de Hilpert (ou Zukauskas) cabe usar.
    • Se em prova o enunciado pedir explicitamente “usar Hilpert”, use a tabela de constantes C,m correspondente à faixa de \mathrm{Re}; mostre esse passo (isso justifica a escolha dos C,m).
    • Em exercícios práticos, é comum avaliar mais de uma correlação e comparar (como fizemos) para ter uma ideia da incerteza empírica.
  • Motivação/ânimo: é normal obter resultados um pouco diferentes entre correlações — são empíricas. O importante é mostrar o procedimento (Tf → propriedades → Re, Pr → escolha da correlação → Nu → h → q) com as contas claras — isso vale muito na prova!]

Resposta

\displaystyle q_{\text{Hilpert}}\approx 2{,}40\times 10^{2}\\ \mathrm{W}
\displaystyle q_{\text{Churchill\text{--}Bernstein}}\approx 2{,}64\times 10^{2}\\ \mathrm{W}

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