14- O oleoduto do Alasca transporta 230 milhões de litros de petróleo cru por dia, de Prudhoe Bay para Valdez, cobrindo uma distância de 1.280 km . O diâmetro da tubulação é de 1,2 \mathrm{~m} e ela está isolada com 10 cm de fibra de vidro coberto com revestimento de aço. Aproximadamente metade do comprimento do oleoduto está acima do solo, estendendo-se na direção norte-sul. O isolamento mantém a superfície externa da capa de aço em torno de 10^{\circ} \mathrm{C}. Se a temperatura média ambiente for 0^{\circ} \mathrm{C} e os ventos dominantes na direção perpendicular ao eixo tiverem a uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a taxa total de perda de calor da porção do oleoduto acima do solo. Buscar propriedades nas tabelas de dados termofísicos. Como exercício, avaliem mais de uma correlação para os cálculos.
Resp.:
Usando correlação de Hilpert: q = 220 MW
Usando correlação de Zukauskas: q=171,1 \mathrm{MW}
Usando correlação de Churchill e Bernstein: q=172,4 \mathrm{MW}

Passo 1

O enunciado pede a taxa total de perda de calor da porção do oleoduto que fica acima do solo, usando correlações de convecção para um cilindro em escoamento transversal. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} \text{Vazão e dados geométricos:}&\\\ \text{comprimento total do oleoduto:}&\;1280\\ \text{km}\\\ \text{metade acima do solo:}&\;L=\tfrac{1}{2}\cdot1280\\ \text{km}=640\\ \text{km}=640\,000\\ \text{m}\\\ \text{diâmetro interno / tubulação:}&\;D_{\text{tubo}}=1{,}2\\ \text{m}\\\ \text{isolamento:}&\;10\\ \text{cm} = 0{,}10\\ \text{m} \\\ \text{portanto diâmetro externo (isolamento + capa de aço):}&\;D=1{,}2+2\cdot0{,}10=1{,}40\\ \text{m}\\\ \text{temperatura da superfície externa da capa de aço:}&\;T_s=10^\circ\text{C}\\\ \text{temperatura ambiente média:}&\;T_\infty=0^\circ\text{C}\\\ \text{velocidade do vento perpendicular ao oleoduto:}&\;U_\infty=2\\ \text{m/s} \end{aligned}ãéâçãâçíçé
O que devemos calcular:
  • A perda de calor total q (potência, em W ou MW) da porção acima do solo, considerando convecção externa sobre um cilindro. O enunciado pede avaliar mais de uma correlação (p.ex. Hilpert, Zukauskas, Churchill–Bernstein).
Observação: o enunciado dá explicitamente que a superfície externa está em 10^\circC; portanto não precisamos modelar condução radial através do isolamento — usamos essa temperatura de superfície como condição externa. Vamos calcular a convecção externa e, opcionalmente, comentar brevemente sobre radiação (mas o foco pedido são as correlações convectivas).

Passo 2

Estratégia geral e fórmulas principais (aula curtinha e prática):
  • Para convecção forçada sobre cilindro em escoamento transversal, obtemos o coeficiente de transferência de calor convectivo h via número de Nusselt Nu:
Nu = \frac{h D}{k}
onde k é a condutividade térmica do fluido (ar) no “filme” (temperatura média entre superfície e ambiente).
  • A taxa de calor por unidade de área (fluxo) é \dot{q}''=h\,(T_s-T_\infty). A taxa total q para o trecho acima do solo é:
q = h \, A \, (T_s-T_\infty)
onde A é a área externa do cilindro:
A = \pi D L.
  • Para obter h calculamos Nu por correlações empíricas apropriadas ao escoamento externo em cilindro transversal (Hilpert, Zukauskas, Churchill–Bernstein). Essas correlações usam os números adimensionais Reynolds e Prandtl:
Re = \frac{U_\infty D}{\nu}, \qquad Pr = \frac{\mu c_p}{k}\\ (\text{ou valores tabelados})
  • Sempre usamos propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme:
T_f = \frac{T_s + T_\infty}{2}.
Agora vamos calcular passo a passo, pegando propriedades do ar a T_f.

Passo 3

Escolha das propriedades do ar (tabela) e cálculo do número de Reynolds:
  • Temperatura de filme:
T_f = \frac{10^\circ\text{C} + 0^\circ\text{C}}{2} = 5^\circ\text{C}.
  • Propriedades aproximadas do ar à 5^\circ\text{C} (valores tabulados, arredondados para uso prático):
k_{\text{ar}} \approx 0{,}0242\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad \nu \approx 1{,}46\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\qquad Pr \approx 0{,}71.
(Explicação rápida: k é condutividade, \nu é viscosidade cinemática. Essas propriedades variam pouco no intervalo 0–20°C; usar o valor à temperatura de filme é a forma padrão.)
  • Re:
Re = \frac{U_\infty D}{\nu}=\frac{2{,}0\cdot1{,}40}{1{,}46\times10^{-5}}
Calculemos:
Re \approx \frac{2{,}8}{1{,}46\times10^{-5}} \approx 1{,}92\times10^{5}.
Comentário: esse Re indica escoamento turbulento em torno do cilindro (regime intermediário a alto), portanto usamos as correlações válidas nessa faixa.

Passo 4

Área superficial exposta e diferença de temperatura:
A=\pi D L = \pi\cdot1{,}40\cdot640\,000 \\ \mathrm{m^2}.
Calculemos:
\pi\cdot1{,}40 \approx 4{,}398\\ \mathrm{m},\qquad A \approx 4{,}398\cdot640\,000 \approx 2{,}814\,720\\ \mathrm{m^2}.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s - T_\infty = 10^\circ\text{C} - 0^\circ\text{C} = 10\\ \text{K}.
Então q = h\,A\,\Delta T. Agora precisamos de h via cada correlação.

Passo 5

Correlação de Hilpert (forma prática e cálculo):
  • Forma simplificada usada (comunemente encontrada em problemas de engenharia) é:
Nu = C\,Re^{m}\,Pr^{1/3},
onde os coeficientes C e m dependem da faixa de Re. Para Re da ordem de 10^5 usamos frequentemente C=0{,}26 e m=0{,}6 (valor prático padrão para cilindros em escoamento livre).
  • Calculemos Nu:
Nu = 0{,}26\cdot(1{,}92\times10^{5})^{0{,}6}\cdot(0{,}71)^{1/3}.
Passo a passo:
(1{,}92\times10^{5})^{0{,}6}\approx 1{,}484,\times10^{3}\quad(\text{cálculo por logaritmo}),á
(0{,}71)^{1/3}\approx0{,}893.
Logo
Nu \approx 0{,}26\cdot1{,}484\times10^{3}\cdot0{,}893 \approx 344{,}6.
  • Coeficiente convectivo h:
h = \frac{Nu\;k}{D} = \frac{344{,}6\cdot0{,}0242}{1{,}40}\\ \mathrm{W/(m^2K)} \approx 5{,}95\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Taxa total de calor:
q = h\,A\,\Delta T \approx 5{,}95\cdot2{,}814\,720\cdot10 \\ \mathrm{W} \approx 1{,}675\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Convertendo para megawatts:
q_{\text{Hilpert}}\approx 167{,}5\\ \mathrm{MW}.
Breve interpretação: usando Hilpert com os parâmetros padrão obtemos cerca de 167{,}5\\ \mathrm{MW}.

Passo 6

Correlação de Zukauskas (forma prática, explicação e cálculo):
  • Uma forma comum da correlação de Zukauskas para escoamento transversal é:
Nu = C\,Re^{m}\,Pr^{n}\left(\frac{Pr}{0{,}7+0{,}3Pr}\right)^{0{,}25},
onde C,m,n dependem da faixa de Re. Para Re da ordem de 10^5 usa-se tipicamente C\approx0{,}026, m\approx0{,}805, n\approx0{,}37 (valores empíricos padrão para cilindros em faixas altas de Re).
  • Calculemos Nu:
Re^{m}=(1{,}92\times10^{5})^{0{,}805}\approx 1{,}7929\times10^{4}\quad(\text{cálculo por logaritmo}),á
Pr^{n}=(0{,}71)^{0{,}37}\approx0{,}881.
Fator de correção em Pr:
\left(\frac{Pr}{0{,}7+0{,}3Pr}\right)^{0{,}25}=\left(\frac{0{,}71}{0{,}7+0{,}213}\right)^{0{,}25}=\left(\frac{0{,}71}{0{,}913}\right)^{0{,}25}\approx0{,}943.
Agora:
Nu \approx 0{,}026\cdot1{,}7929\times10^{4}\cdot0{,}881\cdot0{,}943 \approx 387{,}3.
  • Coeficiente convectivo:
h = \frac{Nu\,k}{D} = \frac{387{,}3\cdot0{,}0242}{1{,}40}\approx 6{,}69\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Taxa total de calor:
q = h\,A\,\Delta T \approx 6{,}69\cdot2{,}814\,720\cdot10 \\ \mathrm{W} \approx 1{,}883\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Em MW:
q_{\text{Zukauskas}}\approx 188{,}3\\ \mathrm{MW}.
Comentário: a correlação de Zukauskas tende a dar valores maiores aqui porque atribui maior dependência de Re (expoente m maior), o que aumenta Nu para Re elevado. Note que a escolha exata de C, m, n depende da faixa de Re e da revisão da tabela de Zukauskas; valores variam em diferentes referências.

Passo 7

Correlação de Churchill e Bernstein (fórmula geral, cálculo detalhado):
  • A correlação de Churchill–Bernstein (muito utilizada por ser válida em larga faixa de Re) é:
Nu = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,Re^{1/2}Pr^{1/3}}{\left[1+\left(0{,}4/Pr\right)^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\frac{Re}{282\,000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Essa forma combina comportamentos laminar/turbulento e é prática porque não exige trocar coeficientes por faixas.
  • Calculemos passo a passo (usando nossos valores anteriores):
Re^{1/2}\approx\sqrt{1{,}92\times10^{5}}\approx 438{,}0,\qquad Pr^{1/3}\approx0{,}893.
Termo principal:
0{,}62\,Re^{1/2}Pr^{1/3}\approx 0{,}62\cdot438{,}0\cdot0{,}893\approx242{,}4.
Denominador intermédio:
\left[1+\left(\frac{0{,}4}{Pr}\right)^{2/3}\right]^{1/4}= \left[1+\left(\frac{0{,}4}{0{,}71}\right)^{2/3}\right]^{1/4}\approx1{,}138.
Fator de correção em Re:
\left[1+\left(\frac{Re}{282\,000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}= \left[1+\left(\frac{1{,}92\times10^{5}}{282\,000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}\approx1{,}589.
Agora:
Nu \approx 0{,}3 + \frac{242{,}4}{1{,}138}\cdot1{,}589 \approx 0{,}3 + 338{,}4 \approx 338{,}7.
  • Coeficiente convectivo:
h = \frac{Nu\,k}{D} = \frac{338{,}7\cdot0{,}0242}{1{,}40}\approx 5{,}86\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Taxa total de calor:
q = h\,A\,\Delta T \approx 5{,}86\cdot2{,}814\,720\cdot10\\ \mathrm{W} \approx 1{,}648\times10^{8}\\ \mathrm{W}.
Em MW:
q_{\text{Churchill–Bernstein}}\approx 164{,}8\\ \mathrm{MW}.
Comentário: este valor fica próximo ao da correlação de Hilpert com os parâmetros escolhidos; Churchill–Bernstein é robusta e frequentemente usada quando se quer uma única fórmula válida numa larga faixa de Re.

Passo 8

Discussão, verificação e observações didáticas (como usar isso na prova):
  • Diferenças entre correlações: elas são empíricas. Hilpert costuma ser simples e razoável; Zukauskas pode prever números de Nusselt maiores em faixas altas de Re por ter expoente m maior; Churchill–Bernstein é uma fórmula “universal” que mistura termos para laminar/turbulento. Por isso é recomendado, quando houver dúvida, calcular com mais de uma correlação e verificar consistência.
  • Fontes de erro/variação: pequenos ajustes nas propriedades do ar (avaliadas na temperatura de filme), na escolha exata do diâmetro externo (camada de aço, rugosidade), e na escolha dos coeficientes empíricos alteram Nu e, portanto, q. É normal na prática obter diferenças de 10–20% entre correlações.
  • Radiação: eu foquei em convecção conforme pedido. Se incluir radiação entre superfície ( T_s=10^\circC) e ambiente ( T_\infty=0^\circC), o fluxo radiativo superficial por unidade de área é
\dot{q}''_{\text{rad}}=\varepsilon\sigma\left(T_s^4-T_\infty^4\right),
com T em Kelvin e emissividade \varepsilon (ex.: \varepsilon\approx0{,}8 para aço pintado). Com T_s=283\\ \text{K},\\ T_\infty=273\\ \text{K} resulta um \dot{q}''_{\text{rad}} da ordem de algumas dezenas de W/m², não desprezível comparado à convecção (aumentaria q total). Em muitos exercícios de transferência de calor é solicitado considerar ambos os mecanismos; aqui segui explicitamente o foco nas correlações convectivas pedidas.

Resposta

Usando correlação de Hilpert: q\approx167{,}5\\ \mathrm{MW}
Usando correlação de Zukauskas: q\approx188{,}3\\ \mathrm{MW}
Usando correlação de Churchill e Bernstein: q\approx164{,}8\\ \mathrm{MW}

Exercícios relacionados