Uma esfera de aço de 300 g e uma esfera de plástico de 60 g de mesmo diâmetro são abandonadas, simultaneamente do alto de uma torre de 60 m de altura. Qual a razão entre os tempos que levarão as esferas até atingir o solo? (Despreze a resistência do ar.)
a) 0,2 .
b) 0,5 .
c) 1,0 .
d) 3,0 .
a) 0,2 .
b) 0,5 .
c) 1,0 .
d) 3,0 .
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Duas esferas do mesmo diâmetro, com massas
e (peguei esses valores do enunciado). - As esferas são abandonadas simultaneamente do alto de uma torre de altura
. - Despreza-se a resistência do ar.
O que é pedido: - A razão entre os tempos que as esferas levarão para atingir o solo, ou seja, calcular
, onde é o tempo da esfera de aço e o tempo da esfera de plástico.
Passo 2
Vamos escrever a equação do movimento para queda livre (movimento uniformemente acelerado):
Explicando as letras:
-
é a posição vertical no instante . -
é a posição inicial (a altura de onde soltam). -
é a velocidade inicial. -
é a aceleração (no caso da queda, é a aceleração da gravidade, com sentido para baixo).
No nosso problema: - Pega-se o solo como
e a posição inicial como . - A velocidade inicial é
(as esferas são abandonadas, não lançadas). - A aceleração é
(uso o sinal negativo se aumenta para cima), com sendo a aceleração da gravidade.
Passo 3
Substituindo na equação e tomando módulo (ou escrevendo a equação de queda em valores positivos), obtemos a equação escalar para o instante em que atinge o solo:
Agora resolvemos essa equação para o tempo positivo
. Isolando
:
Observação didática: essa fórmula dá o tempo de queda a partir do repouso, sob aceleração constante
. Repare que a massa não aparece em nenhuma etapa — o tempo depende apenas de
e
.
Passo 4
Explicando por que a massa não entra: pela segunda lei de Newton a força gravitacional é
. Aplicando
temos
Ou seja, todos os corpos, na ausência de resistência do ar, têm a mesma aceleração
independentemente da massa. Por isso o tempo de queda dado por
é o mesmo para ambas as esferas.
Passo 5
Aplicando a fórmula às duas esferas:
Logo a razão é
Se quiser conferir numericamente (apenas para checar), usando
:
ambas as esferas dão aproximadamente
— iguais.
Resposta
1,0