Uma esfera de aço de 300 g e uma esfera de plástico de 60 g de mesmo diâmetro são abandonadas, simultaneamente do alto de uma torre de 60 m de altura. Qual a razão entre os tempos que levarão as esferas até atingir o solo? (Despreze a resistência do ar.)
a) 0,2 .
b) 0,5 .
c) 1,0 .
d) 3,0 .

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Duas esferas do mesmo diâmetro, com massas \,m_1 = 300\\ \text{g} e \,m_2 = 60\\ \text{g} (peguei esses valores do enunciado).
  • As esferas são abandonadas simultaneamente do alto de uma torre de altura \,h = 60\\ \text{m}.
  • Despreza-se a resistência do ar.
    O que é pedido:
  • A razão entre os tempos que as esferas levarão para atingir o solo, ou seja, calcular \dfrac{t_1}{t_2}, onde \,t_1 é o tempo da esfera de aço e \,t_2 o tempo da esfera de plástico.

Passo 2

Vamos escrever a equação do movimento para queda livre (movimento uniformemente acelerado):
y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2
Explicando as letras:
  • \,y(t) é a posição vertical no instante t.
  • \,y_0 é a posição inicial (a altura de onde soltam).
  • \,v_0 é a velocidade inicial.
  • \,a é a aceleração (no caso da queda, é a aceleração da gravidade, com sentido para baixo).
    No nosso problema:
  • Pega-se o solo como \,y=0 e a posição inicial como \,y_0=h.
  • A velocidade inicial é \,v_0=0 (as esferas são abandonadas, não lançadas).
  • A aceleração é \,a=-g (uso o sinal negativo se y aumenta para cima), com g sendo a aceleração da gravidade.

Passo 3

Substituindo na equação e tomando módulo (ou escrevendo a equação de queda em valores positivos), obtemos a equação escalar para o instante em que atinge o solo:
0 = h - \tfrac{1}{2} g t^2
Agora resolvemos essa equação para o tempo positivo t. Isolando t^2:
\tfrac{1}{2} g t^2 = h
t^2 = \dfrac{2h}{g}
t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}
Observação didática: essa fórmula dá o tempo de queda a partir do repouso, sob aceleração constante g. Repare que a massa não aparece em nenhuma etapa — o tempo depende apenas de h e g.

Passo 4

Explicando por que a massa não entra: pela segunda lei de Newton a força gravitacional é \,F_g = m g. Aplicando F = m a temos
m g = m a \quad\Rightarrow\quad a = g.
Ou seja, todos os corpos, na ausência de resistência do ar, têm a mesma aceleração g independentemente da massa. Por isso o tempo de queda dado por \;t=\sqrt{2h/g}\; é o mesmo para ambas as esferas.

Passo 5

Aplicando a fórmula às duas esferas:
t_1 = \sqrt{\dfrac{2h}{g}},\qquad t_2 = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}
Logo a razão é
\dfrac{t_1}{t_2} = 1.
Se quiser conferir numericamente (apenas para checar), usando g\approx 9,8\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}:
t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 60}{9,8}}\approx \sqrt{12,245}\approx 3,50\\ \text{s},
ambas as esferas dão aproximadamente 3,50\\ \text{s} — iguais.

Resposta

1,0

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