Uma esfera condutora de raio 10 cm carrega 5,0 \mu \mathrm{C}. Calcule o campo elétrico a 30 cm do centro da esfera. O campo dentro da esfera é nulo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera condutora de raio R=10\\ \mathrm{cm} carregada com Q=5,0\\ \mu\mathrm{C}. Pede o campo elétrico a r=30\\ \mathrm{cm} do centro e pergunta se o campo dentro da esfera é nulo. Vamos usar simetria esférica e a Lei de Gauss, além da propriedade de condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Para r>R a esfera se comporta como carga pontual no centro. Pela Lei de Gauss e definindo k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,99\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2},
E(r)=k\,\frac{Q}{r^2}.
Substituindo Q=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e r=0{,}30\\ \mathrm{m},
E(0{,}30)=8{,}99\times10^9\cdot\frac{5{,}0\times10^{-6}}{(0{,}30)^2} \approx5{,}0\times10^5\\ \mathrm{N/C},
radialmente para fora.

Passo 3

Para qualquer ponto dentro da região condutora r<R, a carga líquida interna ao raio r é zero (todas as cargas se alojam na superfície). Aplicando Gauss em r<R
E(r)\,4\pi r^2=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Além disso, em equilíbrio eletrostático o campo no interior de um condutor é nulo.

Resposta

E(30\\ \mathrm{cm})=5{,}0\times10^5\\ \mathrm{N/C} radialmente para fora.
O campo dentro da esfera condutora é nulo, pois em equilíbrio eletrostático todas as cargas se concentram na superfície e a Lei de Gauss dá E=0 para r<R.

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