Uma esfera condutora com raio de 5,0 cm tem carga de 3,0 nC. A esfera condutora está no centro de uma casca metálica esférica descarregada (carga líquida nula) cujos raios interno e externo são, respectivamente, 10 cm e 15 cm . Calcule as densidades de carga nas duas superfícies da casca esférica.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos: uma esfera condutora de raio 5,0 cm leva carga . Ela fica no interior de uma casca metálica (também condutora) que tem raio interno de 10 cm e externo de 15 cm, e cujo saldo de carga é zero.
Conteúdo: eletrostática de condutores em equilíbrio e Lei de Gauss.
O que vamos precisar:
  • Saber que o campo no interior de um condutor eletrostático em equilíbrio é zero.
  • Aplicar a Lei de Gauss para descobrir cargas induzidas.
  • Calcular densidade de carga á.

Passo 2

Teoria + indução na superfície interna:
Em eletrostática, dentro do metal o campo é zero. Se eu imagino uma superfície gaussiana logo abaixo da face interna da casca (ou seja, em meio ao metal), pela Lei de Gauss:
PhiE = oint Ecdot dA = 0 Longrightarrow Qenc = 0
Essa superfície “vê” a carga Qi + 3,0;nC = 0 Longrightarrow Qi = -3,0;nC que está na pequena esfera mais a carga induzida na face interna da casca. Logo

Passo 3

Carga na superfície externa da casca:
A casca tinha carga líquida zero, então a soma das cargas de suas duas faces interna e externa deve ser zero:
Qi + Qe = 0 Longrightarrow Qe = -Qi = +3,0;nC

Passo 4

Agora vem a densidade de carga sigmai = Qi4pi ri^2 = -3,0times10^-94pi,(0,10)^2 approx -2,39times10^-8;C/m^2 . Lembrando que a área de uma esfera é sigmae = Qe4pi re^2 = +3,0times10^-94pi,(0,15)^2 approx +1,06times10^-8;C/m^2 , temos:
  • Para a superfície interna (raio ):
  • Para a superfície externa (raio ):

Resposta

\sigma_i \approx -2{,}39\times10{-8},\mathrm{C/m2},
\sigma_e \approx +1{,}06\times10{-8},\mathrm{C/m2}.

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