Uma esfera condutora sólida de raio
com carga
positiva está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica, com raio
e que também possui uma carga
. que está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante.
(a)
Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em cada uma das regiões:
i.
,
ii.
e
iii.
(b)
A partir do campo elétrico obtido na região entre as esferas,
, calcule a diferença de potencial
entre a superfície da esfera (interna) e a casca esférica (externa).
i.
,
ii.
e
iii. $r>b
(a)
i.
ii.
iii.
(b)
i.
ii.
iii. $r>b
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
-
Dados do enunciado:
- Esfera condutora sólida concêntrica de raio
com carga total . - Casca esférica muito fina, isolante, concêntrica, de raio
(com ), com carga total distribuída uniformemente sobre a casca. - Portanto há duas contribuições de carga:
associada à esfera condutora (toda na superfície ) e associada à casca fina (toda em ) — essa distribuição vem das propriedades de condutores e de uma casca isolante fina.
- Esfera condutora sólida concêntrica de raio
-
O que é pedido:
(a) Usando a lei de Gauss, determinar o campo elétrico (módulo, direção e sentido) nas três regiões:
i.,
ii.,
iii..
(b) A partir do campo elétrico (especialmente na região), calcular a diferença de potencial entre a superfície da esfera interna ( ) e a casca externa ( ). Além disso o enunciado pede as expressões de potencial (implícito) nas três regiões:
i.,
ii.,
iii..
Passo 2
Relembrando a ferramenta principal: Lei de Gauss e o que significa ser condutor.
- Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície gaussiana fechada,
onde
é a carga total dentro da superfície.
- Em simetria esférica, para uma superfície esférica de raio
centrada nos mesmos centros, tem direção radial e módulo constante sobre a superfície. Então
- Propriedade do condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior do material condutor é zero; toda carga excessiva do condutor repousa na superfície externa do condutor (a
neste caso).
Vou usar a constante
para deixar as expressões mais limpas. Também indicarei a direção com o versor radial
; como
, o sentido será para fora (radial positivo).
Passo 3
Região i:
(dentro da esfera condutora sólida)
- Como a esfera é condutora em equilíbrio, o campo no interior do metal é zero:
- Direção/sentido: não há campo, logo sem direção (pode dizer que é nulo). Física intuitiva: cargas livres se rearranjam de modo a cancelar campo dentro do condutor.
Passo 4
Região ii:
(entre a superfície da esfera condutora e a casca isolante)
- Considere uma superfície gaussiana esférica de raio
com . A carga total dentro dessa superfície é apenas a carga da esfera condutora (porque a casca em está fora da superfície). Assim . - Aplicando Gauss:
- Como
, o campo aponta para fora radialmente:
Passo 5
Região iii:
(fora de ambas as cargas)
- Para
a superfície gaussiana engloba ambas as cargas: . - Pela lei de Gauss:
- Direção/sentido: radial para fora (pois carga total positiva):
Passo 6
Agora vamos ao potencial elétrico e à diferença
.
- Definição usada: diferença de potencial entre dois pontos
e é
- Para problemas esféricos e escolha conveniente, costumo adotar
como referência. Assim
- Como
é radial, (quando o deslocamento é radial).
Passo 7
Potencial para
(fora das duas cargas)
- Para
, . Com ,
- Portanto,
Passo 8
Potencial para
(entre as superfícies)
- Para calcular
com , faço o integral dividindo o caminho :
- Substituindo
e :
- Avaliando os integrais:
- Simplificando:
- Então
Passo 9
Potencial para
(dentro do condutor)
- No interior do condutor o campo é zero, logo o potencial é constante em toda região
e igual ao valor na superfície :
- Usando a expressão obtida para
e avaliando em :
- Portanto
Passo 10
Diferença de potencial entre as superfícies
- Usando as expressões:
-
, -
avaliar expressão de em usando a fórmula para ou a de (ambas dão o mesmo valor em ): por exemplo, .
-
- Logo
- Em termos de
,
Resposta
(a) i.
para
.
(a) ii. para
.
(a) iii. para
.
(a) ii.
(a) iii.
(b) i.
para
.
(b) ii. para
.
(b) iii. para
.
(b) ii.
(b) iii.
Diferença de potencial entre as superfícies:
.