Uma esfera condutora sólida de raio a com carga Q positiva está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica, com raio b e que também possui uma carga Q. que está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante.
(a) (1,0) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em cada uma das regiões:
i. 0<r<a,
ii. a<r<b e
iii. r>b
(b) (1,0) A partir do campo elétrico obtido na região entre as esferas, a<r<b, calcule a diferença de potencial V_{a}-V_{b} entre a superfície da esfera (interna) e a casca esférica (externa).
i. 0<r<a,
ii. a<r<b e
iii. $r>b

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados do enunciado:
    • Esfera condutora sólida concêntrica de raio a com carga total Q>0.
    • Casca esférica muito fina, isolante, concêntrica, de raio b (com b>a), com carga total Q distribuída uniformemente sobre a casca.
    • Portanto há duas contribuições de carga: Q associada à esfera condutora (toda na superfície r=a) e Q associada à casca fina (toda em r=b) — essa distribuição vem das propriedades de condutores e de uma casca isolante fina.
  • O que é pedido:
    (a) Usando a lei de Gauss, determinar o campo elétrico (módulo, direção e sentido) nas três regiões:
    i. 0<r<a,
    ii. a<r<b,
    iii. r>b.
    (b) A partir do campo elétrico (especialmente na região a<r<b), calcular a diferença de potencial V_{a}-V_{b} entre a superfície da esfera interna ( r=a) e a casca externa ( r=b). Além disso o enunciado pede as expressões de potencial (implícito) nas três regiões:
    i. 0<r<a,
    ii. a<r<b,
    iii. r>b.

Passo 2

Relembrando a ferramenta principal: Lei de Gauss e o que significa ser condutor.
  • Lei de Gauss (forma integral): para uma superfície gaussiana fechada,
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície.
  • Em simetria esférica, para uma superfície esférica de raio r centrada nos mesmos centros, \vec{E} tem direção radial e módulo constante sobre a superfície. Então
E(r)\, 4\pi r^{2} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\text{int}}}{r^{2}}.
  • Propriedade do condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior do material condutor é zero; toda carga excessiva do condutor repousa na superfície externa do condutor (a r=a neste caso).
Vou usar a constante
k \equiv \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
para deixar as expressões mais limpas. Também indicarei a direção com o versor radial \hat{r}; como Q>0, o sentido será para fora (radial positivo).

Passo 3

Região i: 0<r<a (dentro da esfera condutora sólida)
  • Como a esfera é condutora em equilíbrio, o campo no interior do metal é zero:
\vec{E}(r)=\vec{0}\qquad\text{para }0<r<a.
  • Direção/sentido: não há campo, logo sem direção (pode dizer que é nulo). Física intuitiva: cargas livres se rearranjam de modo a cancelar campo dentro do condutor.

Passo 4

Região ii: a<r<b (entre a superfície da esfera condutora e a casca isolante)
  • Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r com a<r<b. A carga total dentro dessa superfície é apenas a carga da esfera condutora (porque a casca em r=b está fora da superfície). Assim Q_{\text{int}}=Q.
  • Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}=k\frac{Q}{r^{2}}.
  • Como Q>0, o campo aponta para fora radialmente:
\vec{E}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{r}\qquad\text{para }a<r<b.

Passo 5

Região iii: r>b (fora de ambas as cargas)
  • Para r>b a superfície gaussiana engloba ambas as cargas: Q_{\text{int}}=Q+Q=2Q.
  • Pela lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{2Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=k\frac{2Q}{r^{2}}.
  • Direção/sentido: radial para fora (pois carga total positiva):
\vec{E}(r)=k\frac{2Q}{r^{2}}\,\hat{r}\qquad\text{para }r>b.

Passo 6

Agora vamos ao potencial elétrico e à diferença V_{a}-V_{b}.
  • Definição usada: diferença de potencial entre dois pontos r_1 e r_2 é
V(r_2)-V(r_1) = -\int_{r_1}^{r_2} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • Para problemas esféricos e escolha conveniente, costumo adotar V(\infty)=0 como referência. Assim
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • Como \vec{E} é radial, \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E(r)\,dr (quando o deslocamento é radial).

Passo 7

Potencial para r>b (fora das duas cargas)
  • Para r>b, \vec{E}(r)=k\frac{2Q}{r^{2}}\hat{r}. Com V(\infty)=0,
V(r) = -\int_{\infty}^{r} k\frac{2Q}{t^{2}}\,dt = -k2Q\left[-\frac{1}{t}\right]_{\infty}^{r} = k\frac{2Q}{r}.
  • Portanto,
V(r)=k\frac{2Q}{r}\qquad\text{para }r>b.

Passo 8

Potencial para a<r<b (entre as superfícies)
  • Para calcular V(r) com a<r<b, faço o integral dividindo o caminho \infty\to b\to r:
V(r) = -\int_{\infty}^{r}\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\int_{\infty}^{b}E_{\text{fora}}(t)\,dt \;-\;\int_{b}^{r}E_{\text{entre}}(t)\,dt.
  • Substituindo E_{\text{fora}}=k\frac{2Q}{t^{2}} e E_{\text{entre}}=k\frac{Q}{t^{2}}:
V(r)= -k2Q\int_{\infty}^{b}\frac{dt}{t^{2}} - kQ\int_{b}^{r}\frac{dt}{t^{2}}.
  • Avaliando os integrais:
-k2Q\left[-\frac{1}{t}\right]_{\infty}^{b} - kQ\left[-\frac{1}{t}\right]_{b}^{r} = k\frac{2Q}{b} - kQ\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{r}\right).
  • Simplificando:
V(r)=k\!\left(\frac{2Q}{b} - \frac{Q}{b} + \frac{Q}{r}\right) = k\!\left(\frac{Q}{b} + \frac{Q}{r}\right) = kQ\!\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{b}\right).
  • Então
V(r)=kQ\!\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{b}\right)\qquad\text{para }a<r<b.

Passo 9

Potencial para 0<r<a (dentro do condutor)
  • No interior do condutor o campo é zero, logo o potencial é constante em toda região r\le a e igual ao valor na superfície r=a:
V(r)=V(a)\qquad\text{para }0<r<a.
  • Usando a expressão obtida para a<r<b e avaliando em r=a:
V(a)=kQ\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right).
  • Portanto
V(r)=kQ\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\qquad\text{para }0<r<a.

Passo 10

Diferença de potencial entre as superfícies V_{a}-V_{b}
  • Usando as expressões:
    • V(a)=kQ\!\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right),
    • V(b)= avaliar expressão de V(r) em r=b usando a fórmula para a<r<b ou a de r>b (ambas dão o mesmo valor em r=b): por exemplo, V(b)=k\frac{2Q}{b}.
  • Logo
V_{a}-V_{b}=V(a)-V(b) = kQ\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) - k\frac{2Q}{b} = kQ\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
  • Em termos de \varepsilon_0,
V_{a}-V_{b}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).

Resposta

(a) i. \vec{E}(r)=\vec{0} para 0<r<a.
(a) ii. \vec{E}(r)=k\displaystyle\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{r} para a<r<b.
(a) iii. \vec{E}(r)=k\displaystyle\frac{2Q}{r^{2}}\,\hat{r} para r>b.
(b) i. V(r)=kQ\!\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) para 0<r<a.
(b) ii. V(r)=kQ\!\left(\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{b}\right) para a<r<b.
(b) iii. V(r)=k\dfrac{2Q}{r} para r>b.
Diferença de potencial entre as superfícies: V_{a}-V_{b}=kQ\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right).

Exercícios relacionados