Duas placas são mantidas a potenciais de +200 \mathrm{~V} \mathrm{e}-100 \mathrm{~V}. Elas estão separadas por uma distância d=1,00 \mathrm{~cm}.
(a) (0,5) Determine o campo elétrico entre as placas, supondo que este seja constante.
(b) (0,5) Um elétron é colocado inicialmente próximo da placa de potencial mais baixo. Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico quando o elétron atingir a outra placa.
(c) (1,0) Calcule a velocidade do elétron ao atingir a placa.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que vem a seguir veio do enunciado, exceto os valores de e e m_e, que são constantes físicas usadas na conta):
  • Potenciais das duas placas:
    • Placa A: V_A = +200\\ \mathrm{V}
    • Placa B: V_B = -100\\ \mathrm{V}
  • Separação entre as placas: d = 1,00\\ \mathrm{cm} = 0,0100\\ \mathrm{m}.
  • Um elétron é colocado inicialmente próximo da placa de menor potencial (ou seja, próximo de V_B=-100\\ \mathrm{V}) e é solto.
As perguntas são:
(a) Determine o campo elétrico entre as placas, supondo-o constante.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo elétrico quando o elétron atinge a outra placa.
(c) Calcule a velocidade do elétron ao atingir a placa.
Constantes que vou usar (valores padrão):
e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad m_e = 9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Conceito e fórmula para o campo entre placas paralelas com diferença de potencial constante: o campo elétrico uniforme relaciona-se com a diferença de potencial por
\mathbf{E} = -\nabla V \quad\Rightarrow\quad E = \frac{|\Delta V|}{d},
onde \Delta V é a diferença de potencial entre as placas e d é a distância entre elas. A direção do campo é do potencial mais alto para o mais baixo (porque \mathbf{E} aponta para onde V diminui).
Aqui a diferença de potencial entre a placa de +200\\ \mathrm{V} e a de -100\\ \mathrm{V} é
\Delta V = V_{+} - V_{-} = +200 - (-100) = 300\\ \mathrm{V}.
Logo a magnitude do campo é
E = \frac{300\\ \mathrm{V}}{0,0100\\ \mathrm{m}} = 3{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
Direção: do lado da placa a +200\\ \mathrm{V} para o lado da placa a -100\\ \mathrm{V}.
Observação física curta e amigável: o campo aponta sempre do potencial mais alto para o mais baixo; portanto ele aponta da placa com +200\\ \mathrm{V} para a com -100\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Trabalho feito pelo campo sobre uma carga q ao mover-se de um ponto com potencial V_i para outro com potencial V_f.
Primeiro a relação entre energia potencial elétrica e potencial:
U = qV.
A variação da energia potencial ao ir de V_i para V_f é
\Delta U = q(V_f - V_i).
O trabalho realizado pelo campo elétrico é o negativo da variação de energia potencial (campo conservativo):
W_{\text{campo}} = -\Delta U = q(V_i - V_f).
No nosso caso:
  • carga do elétron q = -e = -1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
  • potencial inicial V_i = V_B = -100\\ \mathrm{V} (próximo da placa de menor potencial),
  • potencial final V_f = V_A = +200\\ \mathrm{V}.
Aplicando a fórmula:
W = q(V_i - V_f) = (-e)\bigl(-100 - 200\bigr)\\ \mathrm{V} = (-e)(-300)\\ \mathrm{V} = +300\,e.
Substituindo e:
W = 300\times 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 4{,}806\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: W>0, ou seja, o campo realiza trabalho positivo sobre o elétron — isso ocorre porque a força elétrica sobre o elétron o acelera na direção do movimento (ele está sendo atraído para a placa positiva).

Passo 4

Velocidade obtida a partir do teorema trabalho-energia. Se o elétron é solto do repouso (assumimos velocidade inicial nula), o trabalho do campo transforma-se em energia cinética final:
W = \Delta K = \tfrac{1}{2} m_e v^2 - 0.
Logo
v = \sqrt{\frac{2W}{m_e}}.
Substituindo W = 4{,}806\times10^{-17}\\ \mathrm{J} e m_e = 9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}:
v = \sqrt{\frac{2\times 4{,}806\times10^{-17}}{9{,}109\times10^{-31}}} = \sqrt{1{,}0554\times10^{14}} \approx 1{,}03\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Cheque rápido de consistência: v/c \approx 1{,}03\times10^{7}/3{,}00\times10^{8}\approx 0{,}034, ou seja, v é cerca de 3{,}4\% da velocidade da luz — o resultado é não-relativístico, então o uso da fórmula clássica está ok.

Passo 5

Resumo físico curto (sem repetir cálculos): o campo é uniforme e forte (algumas dezenas de kV/m), o campo faz trabalho positivo no elétron movendo-o para a placa positiva, esse trabalho vira energia cinética e resulta na velocidade calculada acima. Força e sinais coerentes com o elétron sendo atraído para a placa de +200\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) \mathbf{E}=3{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}, dirigida da placa +200\\ \mathrm{V} para a placa -100\\ \mathrm{V}.
(b) W=4{,}806\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
(c) v=1{,}03\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.

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