Um anel de raio R=10 \mathrm{~cm}, possui carga q=+2,0 \mu \mathrm{C} distribuída uniformemente.
(a) (1,0) Determine o módulo e a direção e sentido do campo elétrico em um ponto P situado sobre o eixo do anel, a uma distância x=10,0 \mathrm{~cm} do centro do anel.
(b) (0,5) Um elétron é liberado no ponto P. Determine a aceleração inicial do elétron (modulo, direção e sentido).
(c) (0,5) Repita o item (b) para um próton no ponto P.
Dado: Campo elétrico de um anel de comprimento raio R a uma distância x da mediatriz do fio:
E=E_{x}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q x}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Dados:
    • R=10{,}0\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Q=+2{,}0\\ \mu\mathrm{C}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • Ponto P está sobre o eixo do anel, à distância x=10{,}0\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m} do centro (ou seja, x=R).
    • Fórmula fornecida para o campo no eixo: E_x=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qx}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar o módulo e a direção e sentido do campo elétrico em P;
    (b) liberar um elétron em P e determinar sua aceleração inicial (módulo, direção e sentido);
    (c) repetir o item (b) para um próton.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as constantes que vou usar (aqui ensino a física por trás, passo a passo).
  • A constante coulombiana é k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}. Numericamente pode-se usar k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.Explicação curta: k relaciona carga e campo na lei de Coulomb; aparece também na expressão do campo de distribuições contínuas.
  • A fórmula dada expressa o componente do campo ao longo do eixo do anel (simetria do problema faz com que o campo lateral se cancele e reste apenas a componente ao longo do eixo).
  • Para encontrar forças e acelerações uso as equações básicas: força elétrica sobre carga q \mathbf{F}=q\,\mathbf{E},e a 2ª lei de Newton \mathbf{a}=\frac{\mathbf{F}}{m}=\frac{q\,\mathbf{E}}{m}.Vou trabalhar com os módulos e depois deduzir direção/sentido pelos sinais das cargas.

Passo 3

Calcular E em P aplicando a fórmula com x=R. Primeiro simplifico a expressão quando x=R:
x^{2}+R^{2}=R^{2}+R^{2}=2R^{2},
\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3/2}=(2R^{2})^{3/2}=2^{3/2}R^{3}.
Portanto
E=\frac{k\,Q\,x}{(x^{2}+R^{2})^{3/2}}=\frac{k\,Q\,R}{2^{3/2}R^{3}}=\frac{k\,Q}{2^{3/2}R^{2}}.
Agora substituo os valores numéricos (faço as conversões explicitamente):
k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, \qquad Q=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, \qquad R=0,10\\ \mathrm{m}.
Calculo intermediário R^{2}=(0,10)^{2}=0{,}01\\ \mathrm{m^{2}} e 2^{3/2}=2{,}82842712\ldots.
Agora o numerador e denominador:
kQ = (8{,}99\times10^{9})(2{,}0\times10^{-6})=1{,}7976\times10^{4},
2^{3/2}R^{2}=2{,}82842712\times0{,}01=0{,}0282842712.
Logo
E=\frac{1{,}7976\times10^{4}}{0{,}0282842712}=6{,}3555\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}\\ (\text{aprox.}).
Arredondando razoavelmente:
E\approx 6{,}36\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 4

Determinar direção e sentido do campo em P.
  • O anel tem carga total Q>0. Num ponto do eixo afastado do centro, o campo devido a cargas positivas aponta para fora do anel (repele cargas positivas). Assim o campo em P está ao longo do eixo, no sentido que afasta cargas positivas do centro do anel.
  • Se tomarmos o eixo com origem no centro e com x>0 na direção do ponto P, então o campo em P aponta no sentido de +\!x (ou seja, “para longe do centro do anel”).

Passo 5

Aceleração inicial do elétron (módulo, direção e sentido).
  • Dados essenciais do elétron (valores aproximados usados): carga elemento e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (mas o elétron tem carga q_e=-e) e massa m_e=9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Força elétrica (módulo): |F|=|q_e|\,E=e\,E. Substituindo |F|=(1{,}602\times10^{-19})(6{,}3555\times10^{5})\approx 1{,}018\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.
  • Aceleração (módulo): a=\dfrac{|F|}{m_e}. Assim a\approx\frac{1{,}018\times10^{-13}}{9{,}109\times10^{-31}}\approx 1{,}12\times10^{17}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção e sentido: como q_e<0 a força sobre o elétron é contrária ao campo. O campo estava apontando para +\!x (para longe do anel), logo a força e a aceleração do elétron apontam para -\!x, isto é, em direção ao centro do anel (sentido oposto ao campo).

Passo 6

Aceleração inicial do próton (módulo, direção e sentido).
  • Dados do próton (valores aproximados): carga q_p=+e=+1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e massa m_p=1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Força (módulo): |F|=q_p\,E=(1{,}602\times10^{-19})(6{,}3555\times10^{5})\approx 1{,}018\times10^{-13}\\ \mathrm{N} — nota: mesmo módulo que para o elétron porque as cargas têm mesmo valor absoluto.
  • Aceleração (módulo): a=\frac{|F|}{m_p}\approx\frac{1{,}018\times10^{-13}}{1{,}673\times10^{-27}}\approx 6{,}09\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Direção e sentido: como q_p>0 a força tem o mesmo sentido do campo. O campo aponta para +\!x (para longe do anel), então a aceleração do próton aponta também para +\!x, ou seja, para longe do centro do anel.

Resposta

(a) E\approx 6{,}36\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}; direção: ao longo do eixo do anel; sentido: para longe do centro do anel (no sentido de aumentar x).
(b) Elétron: a\approx 1{,}12\times10^{17}\\ \mathrm{m/s^{2}}; direção: ao longo do eixo; sentido: para o centro do anel (oposto ao campo).
(c) Próton: a\approx 6{,}09\times10^{13}\\ \mathrm{m/s^{2}}; direção: ao longo do eixo; sentido: para longe do centro do anel (mesmo sentido do campo).

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