Um anel de raio
, possui carga
distribuída uniformemente.
(a)
Determine o módulo e a direção e sentido do campo elétrico em um ponto
situado sobre o eixo do anel, a uma distância
do centro do anel.
(b)
Um elétron é liberado no ponto
. Determine a aceleração inicial do elétron (modulo, direção e sentido).
(c)
Repita o item (b) para um próton no ponto
.
Dado: Campo elétrico de um anel de comprimento raio
a uma distância
da mediatriz do fio:
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Dados:
-
. -
. - Ponto
está sobre o eixo do anel, à distância do centro (ou seja, ). - Fórmula fornecida para o campo no eixo:
-
- O enunciado pede:
(a) determinar o módulo e a direção e sentido do campo elétrico em;
(b) liberar um elétron eme determinar sua aceleração inicial (módulo, direção e sentido);
(c) repetir o item (b) para um próton.
Passo 2
Entendendo a fórmula e as constantes que vou usar (aqui ensino a física por trás, passo a passo).
- A constante coulombiana é
. Numericamente pode-se usar Explicação curta: relaciona carga e campo na lei de Coulomb; aparece também na expressão do campo de distribuições contínuas. - A fórmula dada expressa o componente do campo ao longo do eixo do anel (simetria do problema faz com que o campo lateral se cancele e reste apenas a componente ao longo do eixo).
- Para encontrar forças e acelerações uso as equações básicas: força elétrica sobre carga
e a 2ª lei de Newton Vou trabalhar com os módulos e depois deduzir direção/sentido pelos sinais das cargas.
Passo 3
Calcular
em
aplicando a fórmula com
. Primeiro simplifico a expressão quando
:
Portanto
Agora substituo os valores numéricos (faço as conversões explicitamente):
Calculo intermediário
e
.
Agora o numerador e denominador:
Agora o numerador e denominador:
Logo
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Determinar direção e sentido do campo em
.
- O anel tem carga total
. Num ponto do eixo afastado do centro, o campo devido a cargas positivas aponta para fora do anel (repele cargas positivas). Assim o campo em está ao longo do eixo, no sentido que afasta cargas positivas do centro do anel. - Se tomarmos o eixo com origem no centro e com
na direção do ponto , então o campo em aponta no sentido de (ou seja, “para longe do centro do anel”).
Passo 5
Aceleração inicial do elétron (módulo, direção e sentido).
- Dados essenciais do elétron (valores aproximados usados): carga elemento
(mas o elétron tem carga ) e massa . - Força elétrica (módulo):
. Substituindo - Aceleração (módulo):
. Assim - Direção e sentido: como
a força sobre o elétron é contrária ao campo. O campo estava apontando para (para longe do anel), logo a força e a aceleração do elétron apontam para , isto é, em direção ao centro do anel (sentido oposto ao campo).
Passo 6
Aceleração inicial do próton (módulo, direção e sentido).
- Dados do próton (valores aproximados): carga
e massa . - Força (módulo):
— nota: mesmo módulo que para o elétron porque as cargas têm mesmo valor absoluto. - Aceleração (módulo):
- Direção e sentido: como
a força tem o mesmo sentido do campo. O campo aponta para (para longe do anel), então a aceleração do próton aponta também para , ou seja, para longe do centro do anel.
Resposta
(a)
; direção: ao longo do eixo do anel; sentido: para longe do centro do anel (no sentido de aumentar
).
(b) Elétron: ; direção: ao longo do eixo; sentido: para o centro do anel (oposto ao campo).
(c) Próton: ; direção: ao longo do eixo; sentido: para longe do centro do anel (mesmo sentido do campo).
(b) Elétron:
(c) Próton: