Uma esfera homogênea, com 100 m de raio e densidade de 2000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, flutua no espaço, longe de quaisquer outros corpos com massa significativa.
Determinar o campo gravitacional no interior da esfera, em função de r.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Raio da esfera: R=100\\ \mathrm{m}.
  • Densidade homogênea da esfera: \rho=2000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • A esfera está isolada no espaço (sem outros corpos que influenciem).
  • O que se pede: determinar o campo gravitacional no interior da esfera, em função de r, onde r é a distância do centro da esfera até o ponto onde se quer o campo, com 0\le r\le R.

Passo 2

O método escolhido (sem entrar em detalhes técnicos demais por enquanto) é usar a ideia de que, para um ponto dentro de uma esfera homogênea, apenas a massa contida na esfera de raio r contribui para o campo gravitacional naquele ponto; as cascas esféricas externas não exercem força líquida. A seguir vou usar a lei da gravitação de Newton aplicada à massa contida dentro de r. Cada símbolo que aparecer vai ser explicado quando for usado.

Passo 3

Definir e calcular a massa contida dentro do raio r.
  • Densidade volumétrica significa massa por volume; para densidade constante \rho, a massa dentro de um raio r é
M_{\mathrm{int}}(r)=\rho \times (\text{volume da esfera de raio } r).
  • O volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Portanto
M_{\mathrm{int}}(r)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui \rho é a densidade (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), r tem unidade de metros e M_{\mathrm{int}}(r) fica em kg.

Passo 4

Aplicar a lei da gravitação para o módulo do campo gravitacional devido à massa interna.
  • A lei da gravitação de Newton em módulo (para uma massa pontual m) diz que a aceleração gravitacional a uma distância r é \dfrac{G M}{r^{2}}, onde G é a constante gravitacional universal.
  • Para um ponto interior da esfera homogênea, podemos tratar a massa interior M_{\mathrm{int}}(r) como se estivesse concentrada no centro (isso decorre do teorema das cascas esféricas). Assim, o módulo do campo gravitacional em distância r do centro é
g(r)=\frac{G\,M_{\mathrm{int}}(r)}{r^{2}}.
  • Substituindo M_{\mathrm{int}}(r) obtido no passo anterior:
g(r)=\frac{G\left(\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)}{r^{2}}.

Passo 5

Simplificar a expressão algébrica para mostrar a dependência com r.
  • Cancelando r^{2} com r^{3} resulta em dependência linear em r:
g(r)=\frac{4}{3}\pi G \rho \, r.
  • Este g(r) é o módulo do campo gravitacional. O vetor campo aponta radialmente para o centro (ou seja, no sentido negativo do versor radial \hat{r}). Logo a forma vetorial é
\vec{g}(r)=-\frac{4}{3}\pi G \rho \, r\\ \hat{r},
onde \hat{r} é o versor que aponta para fora do centro; o sinal negativo indica que \vec{g} aponta para dentro.

Passo 6

Explicar o que cada símbolo significa, para não restar dúvida:
  • G é a constante gravitacional universal: G\approx 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}.
  • \rho é a densidade da esfera (aqui \rho=2000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}).
  • r é a distância ao centro (variável, com 0\le r\le R).
  • \hat{r} é o versor radial (direção do ponto a partir do centro).
  • \vec{g}(r) é o vetor campo gravitacional (aceleração experimentada por uma massa pequena testada).

Passo 7

Calcular a constante numérica \dfrac{4}{3}\pi G \rho usando os valores dados, para obter uma forma prática.
  • Primeiro calcular G\rho:
G\rho=(6,67430\times10^{-11})\times(2000)=1,33486\times10^{-7}.
  • Multiplicar por \pi:
\pi G\rho \approx 3,14159265\times1,33486\times10^{-7}=4,193927\times10^{-7}.
  • Multiplicar por \dfrac{4}{3}:
\frac{4}{3}\pi G\rho \approx 1{,}3333333\times4,193927\times10^{-7}=5,591903\times10^{-7}.
  • Portanto, numericamente,
g(r)\approx 5{,}5919\times10^{-7}\; r\quad(\mathrm{m/s^{2}}),
com r em metros. Em forma vetorial:
\vec{g}(r)\approx -\bigl(5{,}5919\times10^{-7}\bigr)\, r\\ \hat{r}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 8

Cheque rápido (sentido físico): no centro r=0 temos g(0)=0 como esperado; no limite r=R=100\\ \mathrm{m} a expressão dá o campo na superfície
g(R)\approx 5{,}5919\times10^{-7}\times100=5{,}5919\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s^{2}},
um valor muito pequeno, condizente com uma esfera de massa relativamente pequena (mesmo com densidade 2000 kg/m^3, o raio é só 100 m).

Resposta

\displaystyle \vec{g}(r)=-\frac{4}{3}\pi G \rho \; r\\ \hat{r}
\displaystyle \text{ou numericamente: }\\ \vec{g}(r)\approx -\bigl(5{,}5919\times10^{-7}\bigr)\, r\\ \hat{r}\\ \mathrm{(m/s^{2})}

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