Uma esfera homogênea, com 100 m de raio e densidade de
, flutua no espaço, longe de quaisquer outros corpos com massa significativa.
Determinar o campo gravitacional no interior da esfera, em função de r.
Determinar o campo gravitacional no interior da esfera, em função de r.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Raio da esfera:
. - Densidade homogênea da esfera:
. - A esfera está isolada no espaço (sem outros corpos que influenciem).
- O que se pede: determinar o campo gravitacional no interior da esfera, em função de
, onde é a distância do centro da esfera até o ponto onde se quer o campo, com .
Passo 2
O método escolhido (sem entrar em detalhes técnicos demais por enquanto) é usar a ideia de que, para um ponto dentro de uma esfera homogênea, apenas a massa contida na esfera de raio
contribui para o campo gravitacional naquele ponto; as cascas esféricas externas não exercem força líquida. A seguir vou usar a lei da gravitação de Newton aplicada à massa contida dentro de
. Cada símbolo que aparecer vai ser explicado quando for usado.
Passo 3
Definir e calcular a massa contida dentro do raio
.
- Densidade volumétrica significa massa por volume; para densidade constante
, a massa dentro de um raio é
- O volume de uma esfera de raio
é . Portanto
Aqui
é a densidade (em
),
tem unidade de metros e
fica em kg.
Passo 4
Aplicar a lei da gravitação para o módulo do campo gravitacional devido à massa interna.
- A lei da gravitação de Newton em módulo (para uma massa pontual
) diz que a aceleração gravitacional a uma distância é , onde é a constante gravitacional universal. - Para um ponto interior da esfera homogênea, podemos tratar a massa interior
como se estivesse concentrada no centro (isso decorre do teorema das cascas esféricas). Assim, o módulo do campo gravitacional em distância do centro é
- Substituindo
obtido no passo anterior:
Passo 5
Simplificar a expressão algébrica para mostrar a dependência com
.
- Cancelando
com resulta em dependência linear em :
- Este
é o módulo do campo gravitacional. O vetor campo aponta radialmente para o centro (ou seja, no sentido negativo do versor radial ). Logo a forma vetorial é
onde
é o versor que aponta para fora do centro; o sinal negativo indica que
aponta para dentro.
Passo 6
Explicar o que cada símbolo significa, para não restar dúvida:
-
é a constante gravitacional universal: . -
é a densidade da esfera (aqui ). -
é a distância ao centro (variável, com ). -
é o versor radial (direção do ponto a partir do centro). -
é o vetor campo gravitacional (aceleração experimentada por uma massa pequena testada).
Passo 7
Calcular a constante numérica
usando os valores dados, para obter uma forma prática.
- Primeiro calcular
:
- Multiplicar por
:
- Multiplicar por
:
- Portanto, numericamente,
com
em metros. Em forma vetorial:
Passo 8
Cheque rápido (sentido físico): no centro
temos
como esperado; no limite
a expressão dá o campo na superfície
um valor muito pequeno, condizente com uma esfera de massa relativamente pequena (mesmo com densidade 2000 kg/m^3, o raio é só 100 m).