Uma esfera homogênea, com 100 m de raio e densidade de 2000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, flutua no espaço, longe de quaisquer outros corpos com massa significativa.
Determinar o campo gravitacional da esfera no seu exterior, em função de r.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o campo gravitacional da esfera no seu exterior, em função de r.
Dados fornecidos:
  • raio da esfera: R = 100\\ \mathrm{m}.
  • densidade homogênea: \rho = 2000\\ \mathrm{kg}\,/\,\mathrm{m}^{3}.
  • a esfera está isolada no espaço (ou seja, não há outras massas relevantes por perto).
  • a incógnita é o campo gravitacional \mathbf{g}(r) para pontos externos à esfera (isto é, para r \ge R), onde r é a distância ao centro da esfera.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (lembrando devagar como num gabarito da prova):
A lei da gravitação universal de Newton, para uma massa pontual M localizada no centro, dá o campo gravitacional a distância r como
\mathbf{g}(r) = -\dfrac{G M}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal ( G \approx 6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}kg^{-1}s^{-2}}),
  • \hat{r} é o versor radial que aponta para fora do centro (o sinal negativo indica que \mathbf{g} aponta para o centro),
  • M é a massa que produz o campo, e r é a distância ao centro.
Explicação física curta: o campo aponta para o centro porque a gravidade é atrativa; a magnitude escala como 1/r^{2}.

Passo 3

Por que podemos usar a fórmula de massa pontual para uma esfera homogênea? (a parte importante para a prova)
Teorema relevante (teorema da casca / Lei de Gauss para a gravidade):
  • Para uma distribuição de massa com simetria esférica, o campo gravitacional em um ponto externo a essa distribuição é exatamente igual ao campo que seria produzido por uma massa pontual M igual à massa total da esfera localizada no seu centro.
Demonstração sucinta via Lei de Gauss para gravitação (passo a passo):
  1. A equação de Poisson para o campo gravitacional é \nabla\cdot\mathbf{g} = -4\pi G \rho.
  2. Para simetria esférica, \mathbf{g}(r)=g(r)\,\hat r. Aplicando o teorema da divergência numa superfície esférica de raio r (com r\ge R) obtemos
\oint \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = g(r)\,4\pi r^{2}.
  1. Pelo teorema de Gauss (integrando \nabla\cdot\mathbf{g} sobre o volume interno),
\oint \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{\mathrm{enc}},
onde M_{\mathrm{enc}} é a massa contida dentro da esfera de raio r. Para r\ge R, M_{\mathrm{enc}}=M (a massa total da esfera).
4. Igualando as duas expressões:
g(r)\,4\pi r^{2} = -4\pi G M \quad\Rightarrow\quad g(r) = -\dfrac{G M}{r^{2}}.
Isso mostra que o campo externo tem a forma de uma massa pontual M.

Passo 4

Calcular a massa total M da esfera homogênea (para escrever o resultado em termos de \rho e R e também numericamente).
Fórmula do volume de uma esfera:
V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
Massa total:
M = \rho V = \rho \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
Substituindo os dados numéricos passo a passo:
R^{3} = 100^{3} = 1{,}000{,}000 = 10^{6}\\ \mathrm{m^{3}},
M = 2000\cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 10^{6} = 2{,}000\times \dfrac{4}{3}\pi \times 10^{6}.
Avaliação numérica (aproximação):
M \approx 8{,}37758041\times 10^{9}\\ \mathrm{kg}\approx 8{,}38\times10^{9}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Montando a expressão final do campo externo usando M ou diretamente \rho e R.
Forma com M:
\mathbf{g}(r) = -\dfrac{G M}{r^{2}}\,\hat r,\qquad r\ge R.
Forma em termos de \rho e R (substituindo M=\rho\frac{4}{3}\pi R^{3}):
\mathbf{g}(r) = -\dfrac{4}{3}\pi G \rho \dfrac{R^{3}}{r^{2}}\,\hat r,\qquad r\ge R.
Interpretação prática: a magnitude do campo externo é \displaystyle g(r)=\dfrac{G M}{r^{2}} e aponta para o centro. No caso numérico, M\approx 8{,}38\times10^{9}\\ \mathrm{kg}, então por exemplo a intensidade na superfície ( r=R) seria \displaystyle g(R)=\dfrac{G M}{R^{2}} — um valor pequeno comparado à gravidade terrestre.

Resposta

\mathbf{g}(r) = -\dfrac{G M}{r^{2}}\,\hat r = -\dfrac{4}{3}\pi G \rho \dfrac{R^{3}}{r^{2}}\,\hat r\qquad (r\ge R)

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