Uma esfera homogênea, com 100 m de raio e densidade de
, flutua no espaço, longe de quaisquer outros corpos com massa significativa.
Determinar o campo gravitacional da esfera no seu exterior, em função de r.
Determinar o campo gravitacional da esfera no seu exterior, em função de r.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o campo gravitacional da esfera no seu exterior, em função de
.
Dados fornecidos:
- raio da esfera:
. - densidade homogênea:
. - a esfera está isolada no espaço (ou seja, não há outras massas relevantes por perto).
- a incógnita é o campo gravitacional
para pontos externos à esfera (isto é, para ), onde é a distância ao centro da esfera.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (lembrando devagar como num gabarito da prova):
A lei da gravitação universal de Newton, para uma massa pontual
localizada no centro, dá o campo gravitacional a distância
como
onde:
-
é a constante gravitacional universal ( ), -
é o versor radial que aponta para fora do centro (o sinal negativo indica que aponta para o centro), -
é a massa que produz o campo, e é a distância ao centro.
Explicação física curta: o campo aponta para o centro porque a gravidade é atrativa; a magnitude escala como
.
Passo 3
Por que podemos usar a fórmula de massa pontual para uma esfera homogênea? (a parte importante para a prova)
Teorema relevante (teorema da casca / Lei de Gauss para a gravidade):
- Para uma distribuição de massa com simetria esférica, o campo gravitacional em um ponto externo a essa distribuição é exatamente igual ao campo que seria produzido por uma massa pontual
igual à massa total da esfera localizada no seu centro.
Demonstração sucinta via Lei de Gauss para gravitação (passo a passo):
- A equação de Poisson para o campo gravitacional é
. - Para simetria esférica,
. Aplicando o teorema da divergência numa superfície esférica de raio (com ) obtemos
- Pelo teorema de Gauss (integrando
sobre o volume interno),
onde
é a massa contida dentro da esfera de raio
. Para
,
(a massa total da esfera).
4. Igualando as duas expressões:
4. Igualando as duas expressões:
Isso mostra que o campo externo tem a forma de uma massa pontual
.
Passo 4
Calcular a massa total
da esfera homogênea (para escrever o resultado em termos de
e
e também numericamente).
Fórmula do volume de uma esfera:
Massa total:
Substituindo os dados numéricos passo a passo:
Avaliação numérica (aproximação):
Passo 5
Montando a expressão final do campo externo usando
ou diretamente
e
.
Forma com
:
Forma em termos de
e
(substituindo
):
Interpretação prática: a magnitude do campo externo é
e aponta para o centro. No caso numérico,
, então por exemplo a intensidade na superfície (
) seria
— um valor pequeno comparado à gravidade terrestre.