Uma esfera homogênea de raio e massa rola sem deslizar em uma rampa inclinada de ângulo . Determine a aceleração do centro de massa da esfera e compare com o caso em que a esfera apenas desliza sem rolar.
Passo 1
Beleza, o problema diz: “Uma esfera homogênea (massa , raio ) rola sem deslizar numa rampa inclinada de ângulo . Quero a aceleração do centro de massa e comparar com o caso de deslizar sem rolar.”
Conteúdo: Dinâmica de rotação e translação (Segunda Lei de Newton + Equação de Rolamento sem Deslizamento).
Vamos precisar de:
Diagrama de forças na esfera;
Equação de translação ();
Equação de rotação ();
Momento de inércia de uma esfera sólida ();
Condição de não deslizamento ().
Passo 2
Primeiro, se liga no diagrama de forças:
para baixo (peso), cujas componentes são (paralela) e (normal).
Força de atrito estático subindo a rampa (é ela que faz a esfera girar).
Força normal .
Na translação, alongo a rampa:
Passo 3
Na rotação em torno do centro de massa, o atrito gera torque tau = I,alpha Longrightarrow f,R = I,alpha tag2. Pela Segunda Lei da Rotação:
f,R = I,aR Longrightarrow f = IR^2,a tag3
E a condição de não deslizamento é . Substituindo em (2):
Passo 4
Agora junta (1) e (3):
M,a = M gsintheta - IR^2,a Longrightarrow al(M + tfracIR^2r) = M gsintheta Longrightarrow a = MgsinthetaM + tfracIR^2
Para uma esfera homogênea, a = MgsinthetaM + tfrac25M = Mgsinthetatfrac75M = 57,gsintheta . Logo:
Resposta
A aceleração do centro de massa da esfera rolando sem deslizar é
boxedarm rol = 57,gsintheta
No caso em que ela só desliza (sem rotação), a aceleração é