Uma esfera homogênea de raio R e massa M rola sem deslizar em uma rampa inclinada de ângulo theta. Determine a aceleração do centro de massa da esfera e compare com o caso em que a esfera apenas desliza sem rolar.

Passo 1

Beleza, o problema diz: “Uma esfera homogênea (massa , raio ) rola sem deslizar numa rampa inclinada de ângulo . Quero a aceleração do centro de massa e comparar com o caso de deslizar sem rolar.”
Conteúdo: Dinâmica de rotação e translação (Segunda Lei de Newton + Equação de Rolamento sem Deslizamento).
Vamos precisar de:
  1. Diagrama de forças na esfera;
  2. Equação de translação ( );
  3. Equação de rotação ( );
  4. Momento de inércia de uma esfera sólida ( );
  5. Condição de não deslizamento ( ).

Passo 2

Primeiro, se liga no diagrama de forças:
  • M,a = M gsintheta - f tag1 para baixo (peso), cujas componentes são (paralela) e (normal).
  • Força de atrito estático subindo a rampa (é ela que faz a esfera girar).
  • Força normal .
Na translação, alongo a rampa:

Passo 3

Na rotação em torno do centro de massa, o atrito gera torque tau = I,alpha Longrightarrow f,R = I,alpha tag2. Pela Segunda Lei da Rotação:
f,R = I,aR Longrightarrow f = IR^2,a tag3
E a condição de não deslizamento é . Substituindo em (2):

Passo 4

Agora junta (1) e (3):
M,a = M gsintheta - IR^2,a Longrightarrow al(M + tfracIR^2r) = M gsintheta Longrightarrow a = MgsinthetaM + tfracIR^2
Para uma esfera homogênea, a = MgsinthetaM + tfrac25M = Mgsinthetatfrac75M = 57,gsintheta . Logo:

Resposta

A aceleração do centro de massa da esfera rolando sem deslizar é
boxedarm rol = 57,gsintheta
No caso em que ela só desliza (sem rotação), a aceleração é
boxedarm desl = gsintheta
Ou seja, rolando ela “anda” mais devagar: .

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