Como a posição do eixo de rotação afeta o período de oscilação de um pêndulo físico?

Passo 1

Beleza, o enunciado quer entender como mudar a posição do eixo de rotação afeta o tempo que um pêndulo físico leva pra completar uma oscilação (período).
Conteúdo: pêndulo físico (dinâmica rotacional), momento de inércia e teorema dos eixos paralelos.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula do período de um pêndulo físico.
  2. Teorema dos eixos paralelos pra relacionar o momento de inércia em torno do CM com o momento de inércia em torno do eixo de rotação.

Passo 2

Pra começar, lembra que para um pêndulo físico (corpo rígido oscilando em torno de um eixo fixo), o período T é dado por
T ;=; 2pi ,raizIm g d,,
onde
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação,
  • m é a massa do corpo,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • d é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa.
Mas I muda quando a gente muda o eixo! Aí entra o teorema dos eixos paralelos:
I ;=; Irm cm ;+; m,d^2,,
sendo Irm cm o momento de inércia em torno de um eixo paralelo que passa pelo centro de massa.

Passo 3

Substituindo I na fórmula de T, a gente obtém
T(d) ;=; 2pi ,raizIrm cm + m,d^2m,g,d ;=; 2pi ,raizIrm cmm,g,d ;+;dg,
Pronto, agora temos o período escrito como função de d.

Passo 4

Vamos ver o que isso significa:
  • Se dto0 (eixo bem em cima do CM), o termo Irm cmm,g,d domina e Ttoinfty (não balança).
  • Se dtoinfty (eixo bem longe), o termo dg domina e Ttoinfty de novo.
    Então existe um valor de d que torna T mínimo. Fazendo dT/dd=0, acha-se
drm ótimo = raizIrm cmm, ó
Nesse ponto o período fica mínimo. Se você afastar o eixo além desse valor, T cresce de novo; se aproximar também, T cresce.

Resposta

O período de oscilação varia com a distância d do eixo ao centro de massa via
T(d) = 2pi raizIrm cm + m,d^2m,g,d,
Concluindo: mover o eixo muda d e I, e o período tem um valor mínimo em
d = raizIrm cmm,,
crescendo para mais alto ou mais baixo que esse ponto.

Exercícios relacionados