Como a posição do eixo de rotação afeta o período de oscilação de um pêndulo físico?
Passo 1
Beleza, o enunciado quer entender como mudar a posição do eixo de rotação afeta o tempo que um pêndulo físico leva pra completar uma oscilação (período).
Conteúdo: pêndulo físico (dinâmica rotacional), momento de inércia e teorema dos eixos paralelos.
O que vamos precisar:
Conteúdo: pêndulo físico (dinâmica rotacional), momento de inércia e teorema dos eixos paralelos.
O que vamos precisar:
- Fórmula do período de um pêndulo físico.
- Teorema dos eixos paralelos pra relacionar o momento de inércia em torno do CM com o momento de inércia em torno do eixo de rotação.
Passo 2
Pra começar, lembra que para um pêndulo físico (corpo rígido oscilando em torno de um eixo fixo), o período
é dado por
onde
-
é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação, -
é a massa do corpo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa.
Mas
muda quando a gente muda o eixo! Aí entra o teorema dos eixos paralelos:
sendo
o momento de inércia em torno de um eixo paralelo que passa pelo centro de massa.
Passo 3
Substituindo
na fórmula de
, a gente obtém
Pronto, agora temos o período escrito como função de
.
Passo 4
Vamos ver o que isso significa:
- Se
(eixo bem em cima do CM), o termo domina e (não balança). - Se
(eixo bem longe), o termo domina e de novo.
Então existe um valor deque torna mínimo. Fazendo , acha-se
Nesse ponto o período fica mínimo. Se você afastar o eixo além desse valor,
cresce de novo; se aproximar também,
cresce.
Resposta
O período de oscilação varia com a distância
do eixo ao centro de massa via
Concluindo: mover o eixo muda
e
, e o período tem um valor mínimo em
crescendo para mais alto ou mais baixo que esse ponto.